Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$g_{n}(x)=f\left ( x+\dfrac{1}{n} \right )-f(x)$ $\left ( n \epsilon Z^{*} \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 cobengocnghech

cobengocnghech

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 17-11-2011 - 12:40

Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng hàm số $g_{n}(x)=f\left ( x+\dfrac{1}{n} \right )-f(x)$ $\left ( n \epsilon Z^{*} \right )$ triệt tiêu tại ít nhất một điểm của $\left [ 0,1-\dfrac{1}{n} \right ]$.

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-11-2011 - 12:59

Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng hàm số $g_{n}(x)=f\left ( x+\dfrac{1}{n} \right )-f(x)$ $\left ( n \epsilon Z^{*} \right )$ triệt tiêu tại ít nhất một điểm của $\left [ 0,1-\dfrac{1}{n} \right ]$.

Nhận thấy hàm $g_{n}(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left [ 0,1-\dfrac{1}{n} \right ]$. Ta có:
$${g_n}\left( 0 \right) = f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) - f\left( 0 \right);\,\,\,{g_n}\left( {\dfrac{1}{n}} \right) = f\left( {\dfrac{2}{n}} \right) - f\left( {\dfrac{1}{n}} \right);...;{g_n}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right) = f\left( 1 \right) - f\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right)$$
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
$${g_n}\left( 0 \right) + {g_n}\left( {\dfrac{1}{n}} \right) + {g_n}\left( {\dfrac{2}{n}} \right) + ... + {g_n}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right) = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 0$$
Vậy tồn tại $i,j \in \overline {1...\left( {n - 1} \right)} ,i \ne j$ sao cho ${g_n}\left( {\dfrac{i}{n}} \right) \leqslant 0,\,\,\,{g_n}\left( {\dfrac{j}{n}} \right) \geqslant 0$

Mặt khác hàm ${g_n}\left( x \right)$ liên tục nên tồn tại $c \in \left[ {\dfrac{i}{n},\dfrac{j}{n}} \right]$ sao cho: ${g_n}\left( c \right) = 0$.
Từ đó ta có đpcm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh