Chủ đề này có 1 trả lời

[cobengocnghech]

Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng hàm số $g_{n}(x)=f\left ( x+\dfrac{1}{n} \right )-f(x)$ $\left ( n \epsilon Z^{*} \right )$ triệt tiêu tại ít nhất một điểm của $\left [ 0,1-\dfrac{1}{n} \right ]$.

[Crystal]

Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $\left [ 0,1 \right ]$ và $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng hàm số $g_{n}(x)=f\left ( x+\dfrac{1}{n} \right )-f(x)$ $\left ( n \epsilon Z^{*} \right )$ triệt tiêu tại ít nhất một điểm của $\left [ 0,1-\dfrac{1}{n} \right ]$.

Nhận thấy hàm $g_{n}(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left [ 0,1-\dfrac{1}{n} \right ]$. Ta có:
$${g_n}\left( 0 \right) = f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) - f\left( 0 \right);\,\,\,{g_n}\left( {\dfrac{1}{n}} \right) = f\left( {\dfrac{2}{n}} \right) - f\left( {\dfrac{1}{n}} \right);...;{g_n}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right) = f\left( 1 \right) - f\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right)$$
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
$${g_n}\left( 0 \right) + {g_n}\left( {\dfrac{1}{n}} \right) + {g_n}\left( {\dfrac{2}{n}} \right) + ... + {g_n}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right) = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 0$$
Vậy tồn tại $i,j \in \overline {1...\left( {n - 1} \right)} ,i \ne j$ sao cho ${g_n}\left( {\dfrac{i}{n}} \right) \leqslant 0,\,\,\,{g_n}\left( {\dfrac{j}{n}} \right) \geqslant 0$

Mặt khác hàm ${g_n}\left( x \right)$ liên tục nên tồn tại $c \in \left[ {\dfrac{i}{n},\dfrac{j}{n}} \right]$ sao cho: ${g_n}\left( c \right) = 0$.
Từ đó ta có đpcm.