Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 cobengocnghech

cobengocnghech

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 17-11-2011 - 16:00

a/ Cho $f$, $g$ là hai hàm số dương thỏa: $f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$. Biết $\sqrt{f(x)}$ và $\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên $\left [ a;b \right ]$.
Chứng minh: $\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$
b/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau: $I=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{\alpha }dx}{e^{x}-1}$ với $\alpha \epsilon \mathbb{R}$

#2 thantuongnet

thantuongnet

    Binh nhất

  • Pre-Member
  • 25 Bài viết

Đã gửi 20-11-2011 - 14:59

chứng minh $_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$.với f,g là hai hàm số dương thỏa:f(x).g(x)$\geq$ 1,$\gamma$x $\epsilon$[a,b],biết $\sqrt{f(x)}$ và$\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên [a,b].

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-11-2011 - 12:30

a/ Cho $f$, $g$ là hai hàm số dương thỏa: $f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$. Biết $\sqrt{f(x)}$ và $\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên $\left [ a;b \right ]$.
Chứng minh: $\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$

Dễ thấy các hàm $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ khả tích và liên tục trên $\left[ {a,b} \right]$.

Do đó tồn tại $c \in \left( {a,b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = \dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác, $g\left( x \right) \geqslant 0$ nên theo định lí giá trị trung bình trong tích phân thì tồn tại $c \in \left( {a,b} \right)$ sao cho:
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} g\left( x \right)dx = f\left( c \right)\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Từ (1) và (2) suy ra: $$\dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} g\left( x \right)dx \geqslant \int\limits_a^b {dx = b - a} $$
$$ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx \geqslant {\left( {b - a} \right)^2}$$
Ta có đpcm.

#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 25-11-2011 - 12:40

a/ Cho $f$, $g$ là hai hàm số dương thỏa: $f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$. Biết $\sqrt{f(x)}$ và $\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên $\left [ a;b \right ]$.
Chứng minh: $\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$

Thêm một cách.

Từ giả thiết, suy ra: $$\sqrt {f\left( x \right)g\left( x \right)} \ge 1,\,\,\forall x \in \left[ {a,b} \right]$$
áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Holder cho hai hàm số $\sqrt f $ và $\sqrt g $, ta được:
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} } dx = \int\limits_a^b {{{\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)}^2}} dx{\left( {\sqrt {g\left( x \right)} } \right)^2}dx \ge {\left( {\int\limits_a^b {\sqrt {f\left( x \right)g\left( x \right)} dx} } \right)^2} \ge {\left( {\int\limits_a^b {dx} } \right)^2} $$
$$ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} } dx \ge {\left( {b - a} \right)^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 25-11-2011 - 12:43





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh