Chủ đề này có 3 trả lời

[cobengocnghech]

a/ Cho $f$, $g$ là hai hàm số dương thỏa: $f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$. Biết $\sqrt{f(x)}$ và $\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên $\left [ a;b \right ]$.
Chứng minh: $\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$
b/ Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau: $I=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{\alpha }dx}{e^{x}-1}$ với $\alpha \epsilon \mathbb{R}$

[thantuongnet]

chứng minh $_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$.với f,g là hai hàm số dương thỏa:f(x).g(x)$\geq$ 1,$\gamma$x $\epsilon$[a,b],biết $\sqrt{f(x)}$ và$\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên [a,b].

[Crystal]

a/ Cho $f$, $g$ là hai hàm số dương thỏa: $f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$. Biết $\sqrt{f(x)}$ và $\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên $\left [ a;b \right ]$.
Chứng minh: $\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$

Dễ thấy các hàm $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ khả tích và liên tục trên $\left[ {a,b} \right]$.

Do đó tồn tại $c \in \left( {a,b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = \dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Mặt khác, $g\left( x \right) \geqslant 0$ nên theo định lí giá trị trung bình trong tích phân thì tồn tại $c \in \left( {a,b} \right)$ sao cho:
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)} g\left( x \right)dx = f\left( c \right)\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$$
Từ (1) và (2) suy ra: $$\dfrac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} g\left( x \right)dx \geqslant \int\limits_a^b {dx = b - a} $$
$$ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx \geqslant {\left( {b - a} \right)^2}$$
Ta có đpcm.

[Crystal]

a/ Cho $f$, $g$ là hai hàm số dương thỏa: $f(x).g(x)\geq 1,\forall x\epsilon \left [ a;b \right ].$. Biết $\sqrt{f(x)}$ và $\sqrt{g(x)}$ là những hàm số khả tích trên $\left [ a;b \right ]$.
Chứng minh: $\int_{a}^{b}f(x)dx.\int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^{2}$

Thêm một cách.

Từ giả thiết, suy ra: $$\sqrt {f\left( x \right)g\left( x \right)} \ge 1,\,\,\forall x \in \left[ {a,b} \right]$$
áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Holder cho hai hàm số $\sqrt f $ và $\sqrt g $, ta được:
$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} } dx = \int\limits_a^b {{{\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)}^2}} dx{\left( {\sqrt {g\left( x \right)} } \right)^2}dx \ge {\left( {\int\limits_a^b {\sqrt {f\left( x \right)g\left( x \right)} dx} } \right)^2} \ge {\left( {\int\limits_a^b {dx} } \right)^2} $$
$$ \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx\int\limits_a^b {g\left( x \right)} } dx \ge {\left( {b - a} \right)^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 25-11-2011 - 12:43