Tính các giới hạn sau:
1/ $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \dfrac{n}{4n^{2}-1}+\dfrac{n}{4n^{2}-2^{2}}+...+\dfrac{n}{4n^{2}-(n-1)^{2}} \right )$
2/ $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$
$\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$
Bắt đầu bởi cobengocnghech, 17-11-2011 - 22:29
#1
Đã gửi 17-11-2011 - 22:29
#2
Đã gửi 17-11-2011 - 22:42
Đặt $${S_n} = \dfrac{n}{{4{n^2} - 1}} + \dfrac{n}{{4{n^2} - {2^2}}} + ... + \dfrac{n}{{4{n^2} - {{(n - 1)}^2}}} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\dfrac{1}{{4 - {{\left( {\dfrac{i}{n}} \right)}^2}}}} $$Tính các giới hạn sau:
1/ $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \dfrac{n}{4n^{2}-1}+\dfrac{n}{4n^{2}-2^{2}}+...+\dfrac{n}{4n^{2}-(n-1)^{2}} \right )$
Xét hàm số: $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{4 - {x^2}}}$ khả tích trên $\left[ {0,1} \right]$.
Chia đoạn $\left[ {0,1} \right]$ bởi các điểm ${x_i} = \dfrac{i}{n}$, chọn điểm ${c_i} = \dfrac{i}{n} \in \left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right],\,\,i = \overline {1,n-1} $
Khi đó: $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\dfrac{1}{{4 - {{\left( {\dfrac{i}{n}} \right)}^2}}}} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {f\left( {\dfrac{i}{n}} \right)} } \right)$$
$$ = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{4 - {x^2}}}} } = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{2 + x}}{{2 - x}}} \right|} \right)} \right|_0^1 = \boxed{\dfrac{{\ln 3}}{4}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 17-11-2011 - 22:45
- cobengocnghech, thaovisp, longtb và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 17-11-2011 - 22:51
Ta có: $$x + {x^2} + ... + {x^n} - n = \left( {x - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) + ... + \left( {{x^n} - 1} \right)$$Tính các giới hạn sau:
2/ $\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{x+x^{2}+...+x^{n}-n}{x-1}$
$$ = \left( {x - 1} \right)\left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)} \right)$$
Do đó: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + \left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + ... + \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)} \right)$$
$$ = 1 + 2 + 3 + ... + n = \boxed{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$$
- cobengocnghech, thaovisp, longtb và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 21-11-2011 - 18:57
Bài này còn có thể làm theo Lopitan nữa đúng không các bạn ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lê Xuân Trường Giang: 21-11-2011 - 18:58
Tuổi thanh niên đó là ước mơ. Đó là niềm tin. Đó là sự vươn lên tới chiến công. Đó là trữ tình và lãng mạn. Đó là những kế hoạch lớn lao cho tương lai. Đó là mở đầu của tất cả các viễn cảnh
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
N.HÍCHMÉT
Khó + Lười = Bất lực
#5
Đã gửi 21-11-2011 - 19:28
Đúng thế bạn à. Do biểu thức lấy $lim$ có dạng vô định $\left( {\dfrac{0}{0}} \right)$ nên dùng quy tắc L'Hospital ta có:Bài này còn có thể làm theo Lopitan nữa đúng không các bạn ?
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{x + {x^2} + ... + {x^n} - n}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + 2x + ... + n{x^{n - 1}}} \right) = 1 + 2 + ... + n = \boxed{\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}$$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh