Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i)^2\leq (\dfrac{b-a}{2})^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết

Cho $x_i\in (a,b)$, $p_i\in (0,1), \sum_{i=1}^{n}p_i=1$, $i=\overline{1,n}$, Chứng minh rằng: $$(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i)^2\leq (\dfrac{b-a}{2})^2$$


"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#2
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Biểu thức trên là tam thức bậc hai đối với $x_i$. Hệ số của $x_i^2$ là $p_i-p_i^2\geq 0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại một trong hai đầu mút $a$ hoặc $b$ nên ta chỉ xét trường hợp $x_i$ nhận hai giá trị trên. Đặt $k=\sum_{i\mid x_i=a}p_i, l=\sum_{i\mid x_i=b}p_i$với $k,l\in [0;1], k+l=1$. ta có

$\sum_{i=1}^{n}p_ix_i^2-(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i)^2= ka^2+lb^2-(ka+lb)^2=(k+l)(ka^2+lb^2)-(ka+ly)^2=kl(b-a)^2\leq (\frac{k+l}{2})^2(b-a)^2=(\frac{b-a}{2})^2$

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 27-08-2016 - 22:45





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh