Cho $x_i\in (a,b)$, $p_i\in (0,1), \sum_{i=1}^{n}p_i=1$, $i=\overline{1,n}$, Chứng minh rằng: $$(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i)^2\leq (\dfrac{b-a}{2})^2$$
Chứng minh rằng: $(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i^2)-(\sum_{i=1}^{n}p_i.x_i)^2\leq (\dfrac{b-a}{2})^2$
Bắt đầu bởi khacduongpro_165, 18-11-2011 - 16:12
#1
Đã gửi 18-11-2011 - 16:12
- hxthanh, Element hero Neos, redfox và 1 người khác yêu thích
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!
#2
Đã gửi 27-08-2016 - 22:01
Biểu thức trên là tam thức bậc hai đối với $x_i$. Hệ số của $x_i^2$ là $p_i-p_i^2\geq 0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại một trong hai đầu mút $a$ hoặc $b$ nên ta chỉ xét trường hợp $x_i$ nhận hai giá trị trên. Đặt $k=\sum_{i\mid x_i=a}p_i, l=\sum_{i\mid x_i=b}p_i$với $k,l\in [0;1], k+l=1$. ta có
$\sum_{i=1}^{n}p_ix_i^2-(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i)^2= ka^2+lb^2-(ka+lb)^2=(k+l)(ka^2+lb^2)-(ka+ly)^2=kl(b-a)^2\leq (\frac{k+l}{2})^2(b-a)^2=(\frac{b-a}{2})^2$
(Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 27-08-2016 - 22:45
- L Lawliet, I Love MC, Element hero Neos và 1 người khác yêu thích
For the love of Canidae
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh