Chủ đề này có 17 trả lời

[hammetoan]

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

[DBSK]

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

Bài 2:
Ta có:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+ 3-\dfrac{3c}{3+c} \geq 6-\dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow {1}{1+a}+ \dfrac{4}{2+b}+ \dfrac{9}{3+c} \geq \dfrac{36}{6+a+b+c}$
Đúng theo C-S!
Bài 4:
Chắc bạn chép đề thiếu!
S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b} + \dfrac{d^3}{a+b+c}$

[huyentrang97]

bai 1 ne
$P+14=\frac{a}{b+c}+1 +\frac{4b}{a+c}+4+\frac{9c}{a+b}+9 =\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{4}{a+c} +\frac{9}{a+b}\right )$
ap dung BDtT bunhiacopski ta co:
$P+14=\frac{1}{2}\left ( \left ( b+c \right )+\left ( a+c \right )+\left ( a+b \right ) \right )\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{4}{a+c}+\frac{9}{a+b} \right ) \geq \left ( 1+2+3 \right )^{2}=18$
vay minP=18-14=4
dau dang thuc xay ra khi b+c=$\frac{c+a}{2}=\frac{a+b}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyentrang97: 20-11-2011 - 20:53

[MyLoVeForYouNMT]

nếu đúng đề như DBSK nói thì mình xin làm bài 4:
$S=\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}$
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{18}+\frac{a}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2a}{3}$
Tương tự ta được:
$\frac{b^3}{a+c+d}+\frac{a+c+d}{18}+\frac{b}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2b}{3}$
$\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{a+b+d}{18}+\frac{c}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2c}{3}$
$\frac{d^3}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{18}+\frac{d}{6}+\frac{1}{12}\geq \frac{2d}{3}$
Cộng 4 BĐT trên ta được:
$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{a+b+c+d}{3}-\frac{1}{3}$
Lại có:
$(a+b+c+d)^2\geq 4(ab+bc+cd+da)=12$
$\Leftrightarrow a+b+c+d\geq 2\sqrt 3$
$\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{a+b+d}+\frac{d^3}{a+b+c}\geq \frac{2\sqrt 3-1}{3}$
P\S: sao bạn bảo dùng Bunhia copxki mà sao mình thấy toàn dùng AM-GM thôi nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 20-11-2011 - 22:03

[Katyusha]

Lại có:$(a+b+c+d)^2\geq 4(ab+bc+cd+da)$

Cho mình hỏi là BĐT này chứng minh thế nào vậy?

[MIM]

$(a+b+c+d)^{2}\geq 4(ab+bc+cd+da)$
Cho mình hỏi là BĐT này chứng minh thế nào vậy?

Cái này chứng minh dễ dàng mà bạn ,chỉ cần biến đổi tí là có kết quả liền
Ta có
$(a+b+c+d)^{2}=[(a+c)+(b+d)]^{2}$
$=(a+c)^{2}+(b+d)^{2}+2(a+c)(b+d)$
Mặc khác,
$(a+c)^{2}+(b+d)^{2}\geq 2(a+c)(b+d)$
Cộng thêm $2(a+c)(b+d)$ vào 2 vế của biểu thức ,ta được

$(a+c)^{2}+(b+d)^{2}+2(a+c)(b+d)\geq4(a+c)(b+d)$=4$(ab+bc+cd+da)$

Vậy
$(a+b+c+d)^{2}\geq 4(ab+bc+cd+da)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 21-11-2011 - 18:50

[Katyusha]

4(a+b)(c+d)$=4$(ab+bc+cd+da)$

Mình nghĩ chỗ này không ổn Nhưng hướng xử lý của bạn vẫn đúng Chỉ là sửa lại thành $(a+c)^2+(b+d)^2$ là được. Cám ơn nhiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 21-11-2011 - 09:43

[hammetoan]

Bài 2:
Ta có:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+ 3-\dfrac{3c}{3+c} \geq 6-\dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow {1}{1+a}+ \dfrac{4}{2+b}+ \dfrac{9}{3+c} \geq \dfrac{36}{6+a+b+c}$
Đúng theo C-S!
Bài 4:
Chắc bạn chép đề thiếu!
S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b} + \dfrac{d^3}{a+b+c}$

ko đâu bạn ak, đề nó có thế thôi, chak đề sai, dù sao cũng cảm ơn bạn nhiều

[hammetoan]

Giúp mình thêm bài này nhé:
bài 5:
cho ab+bc+ca=3abc. CMR:
$\frac{1}{a^3(b+c)}+ \frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(b+a)}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hammetoan: 21-11-2011 - 19:45

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Giúp mình thêm bài này nhé:
bài 5:
cho ab+bc+ca=3abc. CMR:
$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+ \dfrac{1}{b^3(a+c)}+\dfrac{1}{c^3(b+a)}\geq \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$

BĐT$\Leftrightarrow \dfrac{bc}{a^{2}(b+c)}+\dfrac{ca}{b^{2}(c+a)}+\dfrac{ab}{c^{2}(a+b)}\geq \dfrac{3}{2}$
Theo Cauchy-Schwarz:
VT=$\dfrac{a^{2}b^{2}}{abc^{2}(b+c)}+\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{2}bc(b+c)}+\dfrac{c^{2}a^{2}}{ab^{2}c(c+a)}\geq \dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(ab+bc+ca)}= \dfrac{3}{2}$
Đẳng thức xảy khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 21-11-2011 - 20:16

[hammetoan]

thêm bài nữa này:
Cho a,b,c >0.
CMR:
$\sqrt{4a^2+3(b+c) ^2} + \sqrt{4b^2+3(a+c) ^2} +\sqrt{4c^2+3(b+a) ^2} \geq 4(a+b+c)$

ths

[minhducqhhehe]

$4a^{2}+3(b+c)^{2}=4a^{2}+(b+c)^{2}+(b+c)^{2}+(b+c)^{2}$

ma ta co

$a^{2}+b^{2 }+c^{2}+d^{2}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{4}$(BDT bunhiacopxki)


$\Rightarrow 4a^{2}+3(b+c)^{2}\geq \frac{(2a+3b+3c)^{2}}{4}$

$\Rightarrow\sum \sqrt{4a^{2}+3(b+c)^{2}} \geq \frac{\sum 2a+3b+3c}{2}=4(a+b+c)(dpcm)$

[hammetoan]

cho a, b, c >0.$\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2}+ \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

cho a, b, c >0.$\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2}+ \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Tất cả những bài được hỏi đều nằm trong ngân hàng đề đợt 2 lớp 10 của trường chuyên khtn . Nếu bạn học tổng hợp thì sao phải hỏi những bài như thế ?

[hammetoan]

mình có học tổng hợp đâu, mình mới học lớp 9 mà, chắc bạn nhầm

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

mình có học tổng hợp đâu, mình mới học lớp 9 mà, chắc bạn nhầm

ừ , anh qên mất đây là box thcs , sorry nha .

cho a, b, c >0.$\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2}+ \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Lời giải :
Bổ đề :
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$(tự cm nha)
Áp dụng
$VT =\frac{(\frac{a}{b+c})^2}{a}+\frac{(\frac{b}{c+a})^2}{b}+\frac{(\frac{c}{a+b})^2}{c}\geq \frac{(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2}{a+b+c}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
$\Rightarrow Q.E.D$

[Katyusha]

cho a, b, c >0.$\dfrac{a}{(b+c)^2} + \dfrac{b}{(a+c)^2}+ \dfrac{c}{(b+a)^2} \geq \dfrac{9}{4(a+b+c)}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow (a+b+c)\left[\dfrac{a^2}{(b+c)^2} +\dfrac{b^2}{(c+a)^2}+\dfrac{c^2}{(a+b)^2}\right] \geq \dfrac{9}{4}$

hay $\dfrac{a^2}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2}+\dfrac{c^2}{(a+b)^2}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{9}{4}$

AM-GM: $\dfrac{a^2}{(b+c)^2}+\dfrac{a}{2(b+c)}+\dfrac{a}{2(b+c)}+\dfrac{1}{4}\geq 2\dfrac{a}{b+c}$

Vậy:

$\dfrac{a^2}{(b+c)^2}+\dfrac{b^2}{(c+a)^2}+\dfrac{c^2}{(a+b)^2}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} + \dfrac{3}{4} \geq 2 \left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \right)-\dfrac{3}{4} \geq 3-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}$ (BĐT Nesbit cho 3 số)

\\ Èo, lụi cụi gõ latex xong thì thấy anh pronoob post luôn lời giải rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 22-11-2011 - 20:45

[Mai Duc Khai]

\\ Èo, lụi cụi gõ latex xong thì thấy anh pronoob post luôn lời giải rồi

Bạn sài Mathtype cho nhanh hoặc lên latex online ý !!Bạn xem ở→ Công thức Toán trên diễn đàn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 28-11-2011 - 19:02