Tìm min của biểu thức sau:
$\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
với $a+b+c=k, k>0$. a,b,c>0
k là hằng số
P/s: bài này mình đã post r nhưng mà chưa nhận đc câu trả lời thỏa đáng.
Mong các mod đừng xóa bài này nhé!
tìm giá trị nhỏ nhất của f(a,b,c)
Bắt đầu bởi zone, 21-11-2011 - 16:27
#1
Đã gửi 21-11-2011 - 16:27
#2
Đã gửi 21-11-2011 - 17:03
$ f(a,b,c)= \dfrac{a}{b^{2}+1}+\dfrac{b}{c^{2}+1}+\dfrac{c}{a^{2}+1}$
$=a-\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+1}+b-\dfrac{bc^{2}}{c^{2}+1}+c-\dfrac{ca^{2}}{a^{2}+1}=k-\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\dfrac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\dfrac{ca^{2}}{a^{2}+1}$
ta co: $\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\dfrac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\dfrac{ca^{2}}{a^{2}+1}\leq \dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ca}{2}\leq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{6}=\dfrac{k^{2}}{6}$
vậy $f(a,b,c)\geq k-\dfrac{k^{2}}{6}$
dấu bằng đạt khi $a=b=c $
Đây đơn thuần chỉ là cosi ngược dấu
$=a-\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+1}+b-\dfrac{bc^{2}}{c^{2}+1}+c-\dfrac{ca^{2}}{a^{2}+1}=k-\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\dfrac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\dfrac{ca^{2}}{a^{2}+1}$
ta co: $\dfrac{ab^{2}}{b^{2}+1}+\dfrac{bc^{2}}{c^{2}+1}+\dfrac{ca^{2}}{a^{2}+1}\leq \dfrac{ab}{2}+\dfrac{bc}{2}+\dfrac{ca}{2}\leq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{6}=\dfrac{k^{2}}{6}$
vậy $f(a,b,c)\geq k-\dfrac{k^{2}}{6}$
dấu bằng đạt khi $a=b=c $
Đây đơn thuần chỉ là cosi ngược dấu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 21-11-2011 - 17:06
- HÀ QUỐC ĐẠT và MIM thích
#3
Đã gửi 22-11-2011 - 19:29
Sai rồi bạn à!
Dấu bằng xảy ra, theo cách làm của bạn, là khi $ a=b=c= 1 $ , nhưng mà $ a+b+c $ có phải luôn luôn không đổi và bằng 3 đâu!
Dấu bằng xảy ra, theo cách làm của bạn, là khi $ a=b=c= 1 $ , nhưng mà $ a+b+c $ có phải luôn luôn không đổi và bằng 3 đâu!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zone: 22-11-2011 - 19:29
#4
Đã gửi 30-11-2011 - 19:29
Bài này có mem nào có ý tưởng khác k? Mình quả thật bó tay
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh