Chủ đề này có 7 trả lời

[MIM]

Số học lớp 10:
a,Chứng minh rằng nếu số nguyên $a$ không chia hết cho 5 thì $a^{4}-1$ chia hết cho 5.

b,Cho m,n là các số nguyên dương
a,b,c,d là các số nguyên trong đó a,b khác $\pm 1$ và không chia hết cho 5.Chứng minh rằng:
$ca^{4m}+db^{4n}\vdots 5\Leftrightarrow c+d \vdots 5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 02-12-2011 - 19:33

[Ispectorgadget]

a) Áp dụng định lý Fermat ta có
$a^4\equiv 1(mod 5)$
Lại có $-1\equiv -1(mod 5)$
Cộng lại ta có $a^4-1\equiv 1-1=0\equiv 0(mod 5)$
Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-11-2011 - 22:38

[Ispectorgadget]

Theo yêu cầu bạn L thì mình sẽ chứng minh định lại lý Fermat nhỏ \[
a^{p - 1} \equiv 1(\bmod p)
\]

Ta cần cm$a^p-a\vdots p$
Vì (a,p)=1 nên a không chia hết cho p
Nếu a=1 thì $1^p-1=0\vdots p$
Giả sử đúng với n=k tức là $k^p-k\vdots p$
Do đó ta cần chứng minh mệnh đề đúng với a=k+1
Hay $(k+1)^p-k+1\vdots p$
$(k + 1)^p - (k + 1) = k^p + pk^{p - 1} + C_p^2 k^{p - 2} + ... + pk + 1 - k - 1 $
$=(k^p - k) + pk^{p - 1} + C_p^2 k^{p - 2} + ... + C_p^{p - 2} k^2 + ... + pk$
mà $C_p^n = \dfrac{{p(p - 1)(p - n - 1)}}{{1.2...n}} \vdots p(n \le p)$
Vậy $(k+1)^p-k+1\vdots p$
Theo nguyên lí quy nạp toán học ta có $a^p-1$ chia hết cho p với mọi $a\in N*$

[donghaidhtt]

mình mới làm câu a: còn Fecmat câu b thì thầy chưa dạy nên chắc ko dc dùng
a\ $a^{4}-1=(a^{2}-1)(a^{_{2}}+1)=(a-1)(a+1)(a^{2}+1)$
có $a=5k+r$ (r và k nguyên và 0$\leq$r$<$5)
vì a ko chia hết cho 5 nên r từ 1 tới 4
với r=1 => a-1 chia hết cho 5
với r=2 => $a^{_{2}}$+1 chia hết cho 5
với r=3 => $a^{_{2}}$+1 chia hết cho 5
với r=4 => a+1 chia hết cho 5
Nên $a^{_{4}}$-1 chia hết cho 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 24-11-2011 - 23:34

[Ispectorgadget]

Fermat của lớp 7 mà . Mình nghĩ chuyên toán thì phải được dùng chứ.

[donghaidhtt]

ko, dc chứ. Nhưng bọn mình đang học trên lớp chưa tới fecmat, mà thầy ra bài về nhà nên phải sử dụng nhị thức Niu-tơn và biến đổi thường.

[donghaidhtt]

thầy gợi ý như thế này này: $(ca^{_{4}}+db^{_{4}}) =c(a^{_{4m}}-1)+d(b^{_{4n}}-1)+(c+d)$
và sử dụng đẳng thức Nếu k là số nguyên dương ta có $x^{^{k}}-y^{_{k}}=(x-y)(...)$

[MIM]

Số học lớp 10:
a,Chứng minh rằng nếu số nguyên $a$ không chia hết cho 5 thì $a^{4}-1$ chia hết cho 5.

b,Cho m,n là các số nguyên dương
a,b,c,d là các số nguyên trong đó a,b khác $\pm 1$ và không chia hết cho 5.Chứng minh rằng:
$ca^{4m}+db^{4n}\vdots 5\Leftrightarrow c+d \vdots 5$

Hải với Kiên đừng cãi nhau nữa.
Thầy mình sửa rồi,mình đưa bài giải lên cho các bạn cùng tham khảo nha

a,Chứng minh rằng nếu số nguyên $a$ không chia hết cho 5 thì $a^{4}-1$ chia hết cho 5.

$a(a^{4}-1)=a(a^{2}-1)(a^{2}+1)=a(a-1)
(a+1)(a^{2}-4+5)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$
Vì $a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)$ là 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 5.Mặc khác,$5a(a-1)(a+1)$ chia hết cho 5 nên $a(a^{4}-1)$.Mà a không chia hết cho 5 nên $(a^{4}-1)$ chia hết cho 5.Ta có đpcm.

b,Ta có $ca^{4m}+db^{4n}=c(a^{4m}-1)+d(b^{4n}-1)+c+d$
áp dụng hằng đẳng thức $a^{k}-b^{k}=(a-b)(a^{k-1}+a^{k-2}b+...+ab^{k-2}+b^{k-1})$
$\Rightarrow a^{k}-b^{k}\vdots a-b$
$(a^{4m}-1)=(a^{4})^{m}-1^{m}=(a^{4}-1)(........)$
Do $a^{4}-1$ chia hết cho 5 ( theo câu a) nên $(a^{4m}-1)$ chia hết cho 5.
$\Rightarrow c(a^{4m}-1),d(b^{4m}-1)$ chia hết cho 5
$\Rightarrow c(a^{4m}-1)+d(b^{4m}-1)$ chia hết cho 5
Mà $ca^{4m}+db^{4n}=c(a^{4m}-1)+d(b^{4n}-1)+c+d$, và $ca^{4m}+db^{4n}$ chia hết cho 5
$\Rightarrow c+d$ chia hết cho 5