Chủ đề này có 1 trả lời

[cvp]

Giải PT nghiệm nguyên $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$
------------------------------------
MOD: Bạn chú ý đặt tiêu đề bằng $\LaTeX$ nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 22-11-2011 - 16:44

[Devil25]

Biến đổi vt được (x+y)($x^2$+$y^2$)=4($x^2$+$y^2$+xy+3)
Như vậy (x+y-4)($x^2$+$y^2$)=4(xy+3) <1>
Xét các trường hợp
+ x chẵn, y chẵn loại vì vt chia hết 8, vp chỉ chia hết 4
+ x chẵn, y lẻ loại vì vt lẻ
+ x lẻ y lẻ xét chia 4 dư 1 hoặc 3 (3 th)
Cũng xét chia hết thì x,y có 1 số chia 4 dư 1 và 1 số chia 4 dư 3<2>
Vì nếu ko thì vt ko chia hết 8, vp chia hết 16.
Như vậy quay lại <1>, ta có vt=vp nên /vt/=/vp/
Ta dễ dàng cm /$x^2$+$y^2$/>/xy+3/ khi kết hợp với <2>. Ta xét khi xy+3 $\geq$ 0.
Chuyển vế được $x^2$+$y^2$-(xy+3)>0,dẫn tới 2$x^2$+2$y^2$-(2xy+6)>0
Vậy $(x-y)^2$+$x^2$+$y^2$>6 <3>. Do trong x,y có 1 số chia 4 dư 3 nên <3> đúng.
Từ đó cm được /$x^2$+$y^2$/>/xy+3/<4>
Do x+y chia hết 4(từ <2>) ta xét như sau:
Th1:x+y-4=0 thì thay vào 1 được xy=-3. Tuy nhiên xy chia 4 dư 3(từ <2>) mà -3 chia 4 dư 1, vậy điều này ko xảy ra
Th2:/x+y-4/ $\geq$ 4 <5>
Khi đó, kết hợp <4> và <5> thì /$x^2$+$y^2$/*/x+y-4/ > /4(xy+3)/, điều này vô lý với <1>. Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Devil25: 23-11-2011 - 19:45