#61
Đã gửi 26-12-2011 - 18:25
Bài 22: Tính tích phân bất định: $$\int \dfrac{x^{4}-2x^{2}}{\left ( x^{2}sinx+2xcosx-2sinx \right )\left ( x^{2}cosx-2xsinx-2cosx \right )}$$
#62
Đã gửi 18-02-2012 - 23:09
Bài toán : Cho $a, b, c \ge 0, a^2 + b^2 + c^2 =a + b + c$. Tìm GTLN của $P = a^3 + b^3 + c^3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 18-02-2012 - 23:10
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#63
Đã gửi 19-02-2012 - 09:10
Theo BĐT Cauchy-Schwarz:Em đang có một bài chưa giải được, mong mọi người chỉ giáo. Và cũng mong mọi người hãy quan tâm đến topic này nhiều hơn, vì đây là nơi giao lưu tôt nhất của diễn đàn.
Bài toán : Cho $a, b, c \ge 0, a^2 + b^2 + c^2 =a + b + c$. Tìm GTLN của $P = a^3 + b^3 + c^3$
$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \le 3$$
Vẫn sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \le (a^2+b^2+c^2)^2 \iff P \le a^2+b^2+c^2 \le 3$$
$$P_{\max}=3 \iff a=b=c=1$$.
#64
Đã gửi 19-02-2012 - 09:12
Anh ơi, hình như cái này anh làm ngược dấu rồi.Theo BĐT Cauchy-Schwarz:
$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2) \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \le 3$$
Vẫn sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$$(a+b+c)(a^3+b^3+c^3) \le (a^2+b^2+c^2)^2 \iff P \le a^2+b^2+c^2 \le 3$$
$$P_{\max}=3 \iff a=b=c=1$$.
Cái khó ở bài này là việc sử dụng như trên rất khó để có kết quả, em nghĩ phải phân tích rất lắt léo mới tìm dc.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 19-02-2012 - 09:13
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#65
Đã gửi 09-03-2012 - 06:35
Bài 24: Tính:
a) $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}$
b) $\lim_{x\rightarrow 1}\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}$
c) $\lim_{x\rightarrow 0}(1+sin3x)^{\frac{1}{x}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 10-03-2012 - 02:35
#66
Đã gửi 09-03-2012 - 09:02
c. $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin 3x} \right)^{\frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin 3x} \right)^{\frac{1}{{\sin 3x}}.\frac{{\sin 3x}}{{3x}}.3}} = {e^3}$$
$$\text{do}\,\,\,\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + \sin 3x} \right)^{\frac{1}{{\sin 3x}}}} = e \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 3x}}{{3x}} = 1\\
\end{gathered} \right.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 09-03-2012 - 09:03
- Tham Lang yêu thích
#67
Đã gửi 10-03-2012 - 02:28
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}$
Theo nhị thức Niu tơn ta có
$(1+mx)^n-(1+nx)^m=\sum C_{n}^{k}(mx)^k-\sum C_{n}^{k}(nx)^k=[1+mnx+\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}(mx)^k]-[1+mnx+\sum_{k=2}^{m}C_{m}^k(nx)^k]$
$=x^2[\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}m^kx^{k-2}-\sum_{k=2}^{n}C_{m}^{k}n^kx^{k-2}]$
Như vậy $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}[\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}m^kx^{k-2}-\sum_{k=2}^{n}C_{m}^{k}m^kx^{k-2}]=C_{n}^{2}m^2-C_{m}^{2}n^2$
Câu c hóa ra chưa học giới hạn e.
Tiếp tục.
Bài 25. Tính
$A=1.1!+2.2!+3.3!+...+n.n!$
$B=(1^2+1+1).1!+(2^2+2+1).2!+...+(n^2+n+1).n!$
Mấy câu này em muốn tính trực tiếp nhưng không ra, dùng Maple để tính rồi quy nạp thì không hay cho lắm
Bài 26. chứng minh rằng:
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=6(C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+...+C_{n+1}^{3})+C_{n+1}^{2}$
Bài 27.Cho các số nguyên dương m,n. Chứng minh rằng $\frac{(m.n)!}{(m!)^n.n!}$ là một số nguyên.
Bài 28. cho số $A=2000.2001.2002$. Tìm số các ước số của A không chia hết cho 1001.
Bài 29. Cho a là số thực thỏa mãn
$f(x)=\frac{2008}{2009}cosx+\frac{2011}{2008}cos(x-a)+1\geq 0,\forall x\in R$
Chứng minh rằng $f(x)\leq 3,\forall x\in R$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 14-03-2012 - 17:08
#68
Đã gửi 12-03-2012 - 15:31
Bài 30. Kí hiệu $a * b = ab + a + b\,\,\left( {\forall a,b \in \mathbb{N}} \right)$. Tính $1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)$
#69
Đã gửi 13-03-2012 - 06:40
Ta có $k.k!=(k+1).k!-k!=(k+1)!-k!=f(k+1)-f(k)$ trong đó $f(k)=k!$
Như vậy $S_1=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+f(4)-f(3)+...+f(n+1)-f(n)=f(n+1)-f(1)=(n+1)!-1$
b) Ta có $(k^2+k+1).k!=(k^2+2k+1).k!-k.k!=(k+1)^2.k!-k.k!=(k+1).(k+1)!-k.k! =g(k+1)-g(k)$
Tương tự câu a $S_2=g(2)-g(1)+g(3)-g(2)+...+g(n+1)-g(n)=g(n+1)-g(1)=(n+1).(n+1)!-1$.
#70
Đã gửi 15-03-2012 - 19:20
Bước 1 chứng minh bằng quy nạp toán học rằng
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2.(n+1)^2}{4}$. Cái này không khó lắm.
Bước 2, chứng minh:
$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+...+C_{n+1}^{3}=C_{n+2}^{4}$
Xét $f(x)=(x+1)^3+(x+1)^4+...+(x+1)^{n+1}=\frac{(x+1)^3.[(x+1)^{n-1}-1}{(x+1)-1}=\frac{(x+1)^{n+2}-(x+1)^3}{x}$ (cấp số nhân)
Cân bằng hệ số tương ứng của $x^3$ trong 2 vế, suy ra
$C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+C_{5}^{3}+...+C_{n+1}^{3}=C_{n+2}^{4}$
Bước 3.
Rút gọn lại biểu thức, ta cần chứng minh:
$\frac{n^2.(n+1)^2}{4}=6C_{n+2}^{4}+C_{n+1}^{2}$
$6C_{n+2}^{4}+C_{n+1}^{2}=6\frac{(n+2).(n+1).n.(n-1)}{4!}+\frac{(n+1).n}{2!}$
$6C_{n+2}^{4}+C_{n+1}^{2}=\frac{(n+2).(n+1).n.(n-1)}{4}+\frac{(n+1).n}{2}$
$=\frac{n.(n+1)}{2}.[\frac{(n+2).(n-1)}{2}+1]=\frac{n^2.(n+1)^2}{4}$
Suy ra ĐPCM.
Các bài còn lại em vẫn chưa có lời giải, mong mọi người chỉ giáo
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 18-04-2012 - 08:05
#71
Đã gửi 15-03-2012 - 22:40
Ta có :Các bạn thử làm bài này.
Bài 30. Kí hiệu $a * b = ab + a + b\,\,\left( {\forall a,b \in \mathbb{N}} \right)$. Tính $1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)$
$a*b= ab+a+b= (a+1)(b+1)-1$ Do đó :
$P_{99}= 99*100= 100.101 -1$
$P_{98}= 98* P_{99}= 99.100.101 -1$
$P_{97}= 97* P_{98}= 98.99.100.101 -1$
......................
$P_{1}= 1* P_{2}= 2.3... 98.99.100.101 -1 =101! -1$
hay
$1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)=101! -1$
#73
Đã gửi 26-03-2012 - 23:09
đề bài:
Liệt kê toàn bộ các hoán vị của tập {1,2,...,n}. Có n con bọ được bố trí rải rác ngẫu nhiên trên các nút của 1 lưới ô vuông mà mỗi cạnh ô vuông bằng 1 đơn vị. Mỗi nút của lưới ô vuông được xác định bởi cặp tọa độ nguyên (x,y). các con bọ có thể di chuyển lên, xuống, trái, phải mỗi lần 1 đơn vị tương ứng với việc thay đổi các hoành độ hay tung độ 1 hay -1 đơn vị. các con bọ di chuyển sao cho cuối cùng chúng đứng thành thẳng nằm ngang, con bọ nọ cách con bọ kia: lúc đó vị trí các con bọ là (x,y) ; (x+1,y);...(x+n-1,y) với x,y nào đó. Giá trị Z của x,y cũng như thứ tự các con bọ kia là tùy ý. Yêu cầu: Tìm số lần di chuyển ít nhất để đạt được thỏa mãn yêu cầu trên tại mỗi nút của lưới ô vuông không thể có hơn 1 con bọ tại cùng 1 thời điểm.
- go out yêu thích
#74
Đã gửi 11-06-2012 - 09:59
Anh ơi , sao nói là tích phân mà lại không có cận vậy anh !!Topic này đang bị bỏ quên... Mọi người cùng thảo luận bài này.
Bài 22: Tính tích phân bất định: $$\int \dfrac{x^{4}-2x^{2}}{\left ( x^{2}sinx+2xcosx-2sinx \right )\left ( x^{2}cosx-2xsinx-2cosx \right )}$$
Này Ngốc , nếu có gì mày không thể làm được thì đó là từ bỏ
#75
Đã gửi 11-06-2012 - 10:07
Anh ơi , sao nói là tích phân mà lại không có cận vậy anh !!
Tích phân bất định em nhé. Tích phân bất định là nguyên hàm đó mà. Nguyên hàm thì đương nhiên không có cận.
#76
Đã gửi 20-06-2012 - 10:38
Tôi xin được nêu hướng giải bài này.Bài 31:
$x^{4}+x^{3}-2x^{2}-15x-25=0$
Từ $x^{4}+x^{3}-2x^{2}-15x-25$ ta luôn có thể phân tích thành $(x^{2}+ax+5)(x^{2}+bx-5)$.Nhân vào rồi đồng nhất hệ số ta được
$\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ ab=-2\\ a-b=3 \end{matrix}\right.$
Từ hệ ta được a=2 và b=-1.Khi đó $x^{4}+x^{3}-2x^{2}-15x-25$=$(x^{2}+2x+5)(x^{2}-x-5)=0$.
Giải phương trình bậc 2 ta được nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ và $x=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 20-06-2012 - 10:39
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#77
Đã gửi 20-06-2012 - 18:13
Bài này em thấy có ở báo THTT tháng 4 năm 2012 nì.Bài 18:Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.CMR điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ vuông là
\[\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{{10}}\]
#78
Đã gửi 21-06-2012 - 17:15
Đúng rồi,đề bài này ở tháng 12/2011 còn bài giải thì ở tháng 4/2012.Bài này được giải như sau:Bài này em thấy có ở báo THTT tháng 4 năm 2012 nì.
Từ đề cho ta có :$2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}=cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}$ (1)
<=>$sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}=cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}$
<=>$sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}=sin\frac{C}{2}$ (vì A+B+C=180) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$sinAsinB=4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}.cos\frac{A}{2}sos\frac{B}{2}=8sin^{2}\frac{C}{2}$.
Mà $cos(A+B)=2sin^{2}\frac{C}{2}-1$ nên cosAcosB=$10sin^{2}\frac{C}{2}-1$. (3)
Từ (2),(3) ta có $sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{1}{10}<=>sin^{2}\frac{C}{2}=\frac{1}{10}$
<=>cosAcosB=0, hay tam giác ABC vuông ở A hoặc B =>đpcm.
Bài này thuộc dạng bài dễ nên mình cũng được đăng tên lên báo.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namheo1996: 21-06-2012 - 17:20
- donghaidhtt yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#79
Đã gửi 29-10-2012 - 16:51
ai giải giùm em câu này?Thêm bài nữa.
Bài 18:Tìm a để pt:$\dfrac{x^3+1}{x\sqrt{x}}+2(a-1)\dfrac{x^2+1}{x}+4(1-a)\dfrac{x+1}{\sqrt{x}}+4a-6$ có 3 nghiệm phân biệt.
#80
Đã gửi 08-02-2013 - 09:20
ai giải giùm em câu này?
Dễ thấy nếu $x$ là nghiệm thì $x \geq 0$ và $\frac{1}{x}$ cũng là nghiệm. Nên nếu nó có 3 nghiệm $x$ phân biệt thì sẽ có 1 nghiệm là nghịch đảo của nhau và 1 nghiệm phải bằng 1.
Thay 1 vào lại phương trình để tìm a sau đó giải phương trình.
Mình nghĩ trong đầu như vậy, các bước tính toán chưa thực hiện do tạt qua nhanh và không có nhiều thời gian. Bạn có thể theo hướng này giải tiếp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi eneim: 08-02-2013 - 09:22
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh