Chủ đề này có 2 trả lời

[Tuong Vi]

Giải $\sqrt{x^2 + 91} =\sqrt{x-2} + x^2$

MoD: Mong bạn đặt tiêu đề là mệnh lệnh bài toán. Tuyệt đối không đặt là "Cần gấp, giúp,...". Cố gắng gõ latex.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 26-11-2011 - 09:17

[perfectstrong]

ĐKXĐ: $x\geq 2$
Cách 1:
Đặt
\[f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 91} - \sqrt {x - 2} - {x^2}\]
\[\forall {x_1} > {x_2} \geqslant 2\]
\[f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \sqrt {x_1^2 + 91} - \sqrt {x_2^2 + 91} + \sqrt {{x_2} - 2} - \sqrt {{x_1} - 2} + x_2^2 - x_1^2\]
\[ = \frac{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{\sqrt {x_1^2 + 91} + \sqrt {x_2^2 + 91} }} + \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 2} + \sqrt {{x_1} - 2} }} + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1}} \right)\]
\[ = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 91} + \sqrt {x_2^2 + 91} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x_2} - 2} + \sqrt {{x_1} - 2} }} - {x_2} - {x_1}} \right)\]
Mà \[\forall {x_1} > {x_2} \geqslant 2\]
\[\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 91} + \sqrt {x_2^2 + 91} }} - {x_2} - {x_1} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x_1^2 + 91} + \sqrt {x_2^2 + 91} }} - 1} \right) < \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {{2^2} + 91} + \sqrt {{2^2} + 91} }} - 1} \right) < 0\]
\[{ - \frac{1}{{\sqrt {{x_2} - 2} + \sqrt {{x_1} - 2} }}}<0\]
\[ \Rightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 91} + \sqrt {x_2^2 + 91} }} - \frac{1}{{\sqrt {{x_2} - 2} + \sqrt {{x_1} - 2} }} - {x_2} - {x_1}} \right) < 0\]
$\Rightarrow f(x_1)<f(x_2) \Rightarrow$ $f$ là hàm giảm trên $[2;+\infty)$
Mà $f(3)=0$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình:

$\sqrt{x^2 + 91} =\sqrt{x-2} + x^2$

Cách 2:
ĐK: $x \geq 2$
Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{x^2 + 91} - 10 = \sqrt{x - 2} - 1 + x^2 - 9$

$\Leftrightarrow \dfrac{(\sqrt{x^2 + 91})^2 - 10^2}{\sqrt{x^2 + 91} + 10} = \dfrac{(\sqrt{x - 2})^2 - 1}{\sqrt{x - 2} + 1} + (x - 3)(x + 3)$

$\Leftrightarrow (x - 3)[\dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}] = (x - 3)[\dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} + x + 3]$

$\Leftrightarrow (x - 3)[\dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}- \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - (x + 3)] = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3\\\dfrac{x + 3}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}- \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} - (x + 3) = 0\,\,\,\,\,(1)\end{array}\right.$

Phương trình (1) tương đương:
$(x + 3)[\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 91} + 10} - 1] - \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} = 0$

$\Leftrightarrow (x + 3)[\dfrac{- \sqrt{x^2 + 91} - 9}{\sqrt{x^2 + 91} + 10}] - \dfrac{1}{\sqrt{x - 2} + 1} = 0 $

Do $x \geq 2 \Rightarrow VT < 0 = VF$
Vậy (1) vô nghiệm. Phương tình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 3