5 replies to this topic

[minhmlml]

giải pt,hệ pt sau:
$\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
$\left\{\begin{matrix} &x^3+y^3=1 & \\ & x^5+y^5=1 & \end{matrix}\right.$

Edited by minhmlml, 26-11-2011 - 20:26.

[Ispectorgadget]

Bài 1: Đk $\sqrt{3}\geq x\geq -\sqrt{3}$
Phương trình đã cho
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt 3 - x = x^2 (\sqrt 3 + x) \\
x \ge - \sqrt 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x^3 + \sqrt 3 x^2 + x - \sqrt 3 = 0 \\
x \ge - \sqrt 3 \\
\end{array} \right.
\]
Tới đây bấm máy giải phương trình rồi so điều kiện là xong
Bài 2: Lấy phương trình 2 trừ phương trình 1 ta có $x^3(x^2-1)+y^3(y^2-1)=0$
Ta được hệ sau:
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 (x^2 - 1) = 0 \\
y^3 (y^2 - 1) = 0 \\
\end{array} \right.
\]

\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0 \\
x = - 1 \\
x = 1 \\
\end{array} \right. \\
\left[ \begin{array}{l}
y = 0 \\
y = - 1 \\
y = 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right.
\]

Tới đây bạn tự kết luận được rồi.
Mình thấy đề bài này không được chặt cho lắm. Mình sẽ phải loại đi nghiệm có x=-1 hay y=-1
Vì vậy phải thay từng cái vô để loại.

Edited by Ispectorgadget, 27-11-2011 - 01:27.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1 (tiếp theo phần giải của Ispectorgadget)
$x^3 + \sqrt{3}x^2 + x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow x^3 + 3.x^2.\dfrac{1}{\sqrt{3}} + 3.x.(\dfrac{1}{\sqrt{3}})^2 + (\dfrac{1}{\sqrt{3}})^3 = \dfrac{10}{\sqrt{27}}$

$\Leftrightarrow (x + \dfrac{1}{\sqrt{3}})^3 = \dfrac{10}{\sqrt{27}}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\sqrt[3]{10} - 1}{\sqrt{3}} (tm)$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 27-11-2011 - 16:46.

[Ispectorgadget]

Mình nghĩ bài này đề cho không chặt lắm. Vì những bài kiểu này thông thường hay có 1 phương trình có Số mũ chẵn để loại đi nghiệm âm. Còn cái chuyển thành hệ thì mình làm gần giống những bài mình đã làm ở dạng này.
Mình xem lại thì thấy mấy bài kiểu này toàn mũ chẵn đi kèm với mũ lẻ. Cũng có thể mình làm sai.

Edited by Ispectorgadget, 27-11-2011 - 01:36.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 2: (Xin lỗi mình chỉ có thể làm được cách này thôi)

Giải

$\left\{\begin{array}{l}x^3 + y^3 = 1\\x^5 + y^5 = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}(x + y)(x^2 - xy + y^2) = 1\\(x^3 + y^3 )(x^2 + y^2) - x^2y^2(x + y) = 1\end{array}\right. \,\,\,\,\,\,\,\,\, (I)$

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}S = x + y\\P = xy\end{array}\right. (S^2 \geq 4P; S \neq 0)$

Hệ phương trình (I) tương đương:

$\left\{\begin{array}{l}S(S^2 - 3P) = 1\\S^2 - 2P - P^2S = 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}P = \dfrac{S^3 - 1}{3S} \,\,\,\,\, (1)\\S^2 - 2P - P^2S = 1 \,\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Do $P \leq \dfrac{S^2}{4}\Rightarrow \dfrac{S^3 - 1}{3S} \leq \dfrac{S^2}{4}$
Giải bất phương trình này, ta được: $S \in (0; \sqrt[3]{4}]$

Thế (1) vào (2), ta có:
$S^2 - 2\dfrac{S^3 - 1}{3S} - (\dfrac{S^3 - 1}{3S})^2.S = 1$

$\Leftrightarrow S^2 - \dfrac{2S^3 - 2}{3S} - \dfrac{S^6 - 2S^3 + 1}{9S} = 1 $

$\Leftrightarrow S^6 - 5S^3 + 9S - 5 = 0 \Leftrightarrow (S - 1)^3(S^3 + 3S^2 + 6S + 5) = 0$
(Đoạn này do áp dụng sơ đồ Hoocne nên phân tích như trên)

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}S = 1\\S^3 + 3S^2 + 6S + 5 = 0\,\,\,\,\, (3)\end{array}\right.$

Do S > 0 nên VT(3) > 0 hay (3) vô nghiệm.

Do S = 1 nên P = 0. Từ đó suy ra cặp nghiệm (x; y) = (0; 1); (1; 0)

[Ispectorgadget]

Híc lỡ tay bấm gửi bài sự cố ngoài ý muốn
Có gì nhờ mod del bài dùm.

Edited by Ispectorgadget, 28-11-2011 - 00:23.