Chủ đề này có 2 trả lời

[cvp]

Giải phương phương trình nghiệm nguyên
$x^{2}+y^{2}-x-y-xy-1=0$

[Cao Xuân Huy]

Mình xin giải bài này nhé.

Ta có phương trình tương đương:
${x^2} + {y^2} - x - y - xy - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x(y + 1) + {y^2} - y - 1 = 0$

Lập biệt thức của phương trình:
$\Delta = {(y + 1)^2} - 4({y^2} - y - 1) = - 3{y^2} + 6y + 5 = - 3({y^2} - 2y) + 5$

Để phương trình có nghiệm nguyên thì biệt thức phải là một số chính phương.

Nhưng ta lại thấy với $x,y \in \mathbb{Z}$ thì $\Delta \equiv 2(\bmod 3)$

Do đó phương trình vô nghiệm nguyên

[nguyenta98]

Em xin có cách khác không dùng delta:
Nhân 2 cả hai vế có $2x^2+2y^2-2x-2y-2xy-2=0$
Suy ra $(x^2+y^2-2xy)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)-4=0$ hay $(x^2+y^2-2xy)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=4$
Suy ra $(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=4$
Nhận thấy $(x-y)^2;(x-1)^2;(y-1)^2$ đều là 3 số chính phương (tức là bình phương của 1 số và >0)
Lại có $4=4+0+0$ khi thay giá trị tương ứng thấy không thỏa mãn. Suy ra phương trình vô nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-11-2011 - 11:06