Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị min của biểu thức $A=x^{2}+3x+y^{2}+3y+\dfrac{9}{x^{2}+y^{2}+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 27-11-2011 - 22:50

Cho các số thực dương $x;y$ thỏa mãn $xy=1$
Tìm giá trị min của biểu thức $A=x^{2}+3x+y^{2}+3y+\dfrac{9}{x^{2}+y^{2}+1}$
:closedeyes: :closedeyes:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 27-11-2011 - 22:51

Hình đã gửi


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-11-2011 - 23:58

Áp dụng BĐT AM-GM ta có
A$\geq x^2+y^2+3.2\sqrt{xy}+\dfrac{9}{x^2+y^2+1}=x^2+y^2+1+\dfrac{9}{x^2+y^2+1}+5\geq 6+5=11$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-11-2011 - 00:00

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa

Đã gửi 28-11-2011 - 11:37

Ta có:

$A = {x^2} + 3{\rm{x}} + {y^2} + 3y + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \left( {{x^2} + {y^2} + 1 + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} \right) + 3\left( {x + y} \right) - 1$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

${x^2} + {y^2} + 1 + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} \ge 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right).\frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} = 6$


$3\left( {x + y} \right) \ge 3.2\sqrt {xy} = 6$


$$\Rightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + 1 + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} \right) + 3\left( {x + y} \right) - 1 \ge 6 + 6 - 1 = 11$$
Min của A=11 khi:

$\left\{ \begin{gathered} x = y \\ {x^2} + {y^2} + 1 = \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} \\\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 28-11-2011 - 18:10

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng


#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 13-05-2012 - 22:46

Cho các số thực dương $x;y$ thỏa mãn $xy=1$
Tìm giá trị min của biểu thức $A=x^{2}+3x+y^{2}+3y+\dfrac{9}{x^{2}+y^{2}+1}$
:closedeyes: :closedeyes:


Làm luôn như thế này cho khỏe, ăn cấp từ bài của chú Khải :P

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[A = \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} + 3x + 3y - 1 \ge 4\sqrt[4]{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right).\frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}.3x.3y}} - 1 = 11\]




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh