Chủ đề này có 3 trả lời

[cvp]

Cho các số thực dương $x;y$ thỏa mãn $xy=1$
Tìm giá trị min của biểu thức $A=x^{2}+3x+y^{2}+3y+\dfrac{9}{x^{2}+y^{2}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 27-11-2011 - 22:51

[Ispectorgadget]

Áp dụng BĐT AM-GM ta có
A$\geq x^2+y^2+3.2\sqrt{xy}+\dfrac{9}{x^2+y^2+1}=x^2+y^2+1+\dfrac{9}{x^2+y^2+1}+5\geq 6+5=11$
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-11-2011 - 00:00

[Mai Duc Khai]

Ta có:

$A = {x^2} + 3{\rm{x}} + {y^2} + 3y + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \left( {{x^2} + {y^2} + 1 + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} \right) + 3\left( {x + y} \right) - 1$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

${x^2} + {y^2} + 1 + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} \ge 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right).\frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} = 6$


$3\left( {x + y} \right) \ge 3.2\sqrt {xy} = 6$

$$\Rightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + 1 + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}} \right) + 3\left( {x + y} \right) - 1 \ge 6 + 6 - 1 = 11$$
Min của A=11 khi:

$\left\{ \begin{gathered} x = y \\ {x^2} + {y^2} + 1 = \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} \\\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = y = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 28-11-2011 - 18:10

[Crystal]

Cho các số thực dương $x;y$ thỏa mãn $xy=1$
Tìm giá trị min của biểu thức $A=x^{2}+3x+y^{2}+3y+\dfrac{9}{x^{2}+y^{2}+1}$

Làm luôn như thế này cho khỏe, ăn cấp từ bài của chú Khải

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[A = \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + \frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}} + 3x + 3y - 1 \ge 4\sqrt[4]{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right).\frac{9}{{{x^2} + {y^2} + 1}}.3x.3y}} - 1 = 11\]