Chủ đề này có 1 trả lời

[hatemath]

giai pt:
$(-2x^3+10x^2-17x+8)^3=8x^6(5x-x^3)$

[Crystal]

giai pt:
$(-2x^3+10x^2-17x+8)^3=8x^6(5x-x^3)$

Phương trình tương đương với: $$ - 2{x^3} + 10{x^2} - 17x + 8 = 2{x^2}\sqrt[3]{{5x - {x^3}}}$$
Đến đây thì chính là bài toán sau:

Bài 4: Giải phương trình : $-2x^3 +10x^2 -17x+8=2x^2\sqrt[3]{5x-x^3}$

Giải
Ta thấy ở dạng bài này thương thì ta sử dụng phương pháp hàm số nhưng nếu để nguyên thì không đưa về dạng hàm số được vì vậy ta nghĩ đến đổi biến số đi
Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình
Với $x \ne 0$ thì phương trình đã cho tương đương
\[ - 2 + \dfrac{{10}}{x} - \dfrac{{17}}{{{x^2}}} + \dfrac{8}{{{x^3}}} = 2\sqrt[3]{{\dfrac{5}{{{x^2}}} - 1}}\]
Đặt $t=\dfrac{{1}}{x}$ ta được
\[ - 2 + 10t - 17{t^2} + 8{t^3} = 2\sqrt[3]{{5{t^2} - 1}}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {2t - 1} \right)^3} + 2(2t - 1) = 5{t^2} - 1 + 2\sqrt[3]{{5{t^2} - 1}}\]
Bây giờ thì ta xét hàm số
\[f(x) = {x^3} + 2x\]
Ta có
\[f'(x) = 3{x^2} + 2 > 0\]
Vậy thì hàm số đã là hàm tăng
Vậy phương trình tương đương
\[2t - 1 = \sqrt[3]{{5{t^2} - 1}}\]
Đến đây thì lập phương hai vế rồi giải là được kết quả

Một cách giải khác cho bài này.

Đầu tiên quan sát rằng $${\left( {x - 2} \right)^3} + 5x - {x^3} = - 6{x^2} + 17x - 8$$
Vì vậy, ta đặt $a = \sqrt[3]{{5x - {x^3}}},\,\,b = x - 2$, khi đó phương trình trở thành:
$$ - 2{x^2}\left( {x - 2} \right) - \left( { - 6{x^2} + 17x - 8} \right) = 2{x^2}\sqrt[3]{{5x - {x^3}}}$$
Do đó: $$ - 2xb - \left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 2{x^2}a \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2} + 2{x^2}} \right) = 0$$
Để ý rằng ${a^2} - ab + {b^2} \ge 0,\,\,\,2{x^2} \ge 0$ do đó suy ra $\left[ \begin{array}{l}
a + b = 0\\
2{x^2} = 0
\end{array} \right.$
Từ đó: $$a + b = 0 \Rightarrow a = - b \Rightarrow 6{x^2} - 17x + 8 = 0$$
$2{x^2} = 0$ dễ dàng loại.

Đến đây giải phương trình trên thì được nghiệm .