Chủ đề này có 2 trả lời

[81822162]

chứng minh hàm số liên tục trên (a,b) và có đạo hàm bằng 0 thì là hàm hằng.

[E. Galois]

Giả sử có hàm số $f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f'(x) = 0, \forall x \in (a;b)$.
Dễ thấy $f'(x)$ liên tục trên $[\alpha;\beta],a < \alpha< \beta < b$ nên
$$f(x)=\int f'(x)dx=\int 0dx=C, \forall x \in [\alpha;\beta]$$
Giả sử $\exists x_0 \in (a;\alpha]$ sao cho $f(x_0) \neq C$. Khi đó, theo Bổ đề Fermat, $\exists x \in (x_0;\alpha]$ sao cho
$$0 = f'(x) = \dfrac{f(\alpha)-f(x_0)}{\alpha-x_0} = \dfrac{C-f(x_0)}{\alpha-x_0} \neq 0$$
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ: $f(x) = C, \forall x \in (a;\alpha]$.
Tương tự, $f(x) = C, \forall x \in [\beta;b)$.
Vậy
$$f(x) = C, \forall x \in (a;b)$$

[81822162]

Giả sử có hàm số $f(x)$ liên tục trên $(a;b)$ và $f'(x) = 0, \forall x \in (a;b)$.
Dễ thấy $f'(x)$ liên tục trên $[\alpha;\beta],a < \alpha< \beta < b$ nên
$$f(x)=\int f'(x)dx=\int 0dx=C, \forall x \in [\alpha;\beta]$$
Giả sử $\exists x_0 \in (a;\alpha]$ sao cho $f(x_0) \neq C$. Khi đó, theo Bổ đề Fermat, $\exists x \in (x_0;\alpha]$ sao cho
$$0 = f'(x) = \dfrac{f(\alpha)-f(x_0)}{\alpha-x_0} = \dfrac{C-f(x_0)}{\alpha-x_0} \neq 0$$
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ: $f(x) = C, \forall x \in (a;\alpha]$.
Tương tự, $f(x) = C, \forall x \in [\beta;b)$.
Vậy
$$f(x) = C, \forall x \in (a;b)$$

cảm ơn bạn nhiều,nhưng hình như chỗ bổ đề là định lý lagrange thì phải