Thời gian làm bài 180 phút
Ngày 1: 28/11/2011
Câu I. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại duy nhất một số nguyên dương $a<5^n$ thỏa mãn $5^n|a^3-a+1$
Câu II. Cho $k$ là số thực dương cố định và $a,b,c$ là các số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P= \dfrac{a+b+c}{ (a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{1}{k}}}+\dfrac{(a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{3}{k}}}{abc}$
Câu III. Cho tam giác $ABC$.$M$ di chuyển trên đoạn $BC$, $B' \in AC,C'\in AB$ sao cho $AC'MB'$ là hình bình hành.Gọi $N_b,N_c$ là tâm Euler của $MBC'$ và $MCB'$. $T$ là trung điểm $N_bN_c$. Chứng minh rằng $MT$ đi qua điểm cố định.
Câu IV. Cho dãy số dương $a_n$ thỏa mãn
$$a_1=1,a_2=\dfrac{2}{3},a_{n+2}<\dfrac{1}{4}a_{n+1}^2+\dfrac{3}{4}a_n$$
Chứng minh rằng $a_n$ hội tụ và tìm giới hạn của nó
-----------------------------Hết--------------------------------
p/s: Đề vòng 3 dễ hơn vòng 2, chiều nay thi ngày hai, chúc các anh chị 11,12- KHTN của VMF thi tốt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 29-11-2011 - 07:38