Chủ đề này có 1 trả lời

[thaonhi]

cho hình chữ nhật ABCD. Trên ba cạnh AB, BC, CD lấy ba điểm M, N, P sao cho: AM/AB=BN/BC=CP/CD=1/3 và trên AN lấy điểm E thỏa AE/AN=k. Tìm k để M, P, E thẳng hàng

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho:

$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{CP}{CD} = \dfrac{1}{3}$

Trên AN lấy điểm E thỏa mãn: $\dfrac{AE}{AN} = k$. Tìm k để M, P, E thẳng hàng.

Giải

Đặt
Vectơ AB = Vectơ DC = $\vec{a}$.
Suy ra: Vectơ AM = Vectơ PC = $\dfrac{1}{3}.\vec{a}$
Vectơ BC = $\vec{b}$
Suy ra: Vectơ BN = $\dfrac{1}{3}.\vec{b}$

Do: $\dfrac{AE}{AN} = k \Rightarrow \dfrac{Vecto(AE)}{Vecto(AN)} = k$
(Điều này luôn đúng với hai vectơ cùng hướng)

$\Leftrightarrow Vecto(NE) = (k - 1).Vecto(AN)$

Ta thấy:
$Vecto(ME) = Vecto(MB) + Vecto(BN) + Vecto(NE) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1).Vecto(AN)$

$= \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1)[Vecto(AB) + Vecto(BN)] = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} + (k - 1)[\vec{a} + \dfrac{1}{3}.\vec{b}]$

$= \vec{a}(k - 1 + \dfrac{2}{3}) + \vec{b}[\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}(k - 1)]$

$= \vec{a}(k - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{k}{3}.\vec{b}$

Lại có:
$Vecto(MP) = Vecto(MB) + Vecto(BC) + Vecto(CP) = \dfrac{2}{3}\vec{a} + \vec{b} - \dfrac{1}{3}\vec{a} $

$= \dfrac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$

M, P, E thẳng hàng khi và chỉ khi:
$Vecto(ME) = x.Vecto(MP) (x \in R) \Rightarrow \vec{a}(k - \dfrac{1}{3}) + \dfrac{k}{3}.\vec{b} = x(\dfrac{1}{3}\vec{a} + \vec{b})$

$\Leftrightarrow \vec{a}(k - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3}) + \vec{b}(\dfrac{k}{3} - x) = \vec{0} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}k - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x}{3} = 0\\\dfrac{k}{3} - x = 0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}3k - x - 1 = 0\\k = 3x\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{8}\\k = \dfrac{3}{8}\end{array}\right.$

Vậy $k = \dfrac{3}{8}$ thì M, P, E thẳng hàng.

P/S: Mình không giỏi phần vectơ lắm. Một số chỗ trong bài làm, để đảm bảo tính "thẩm mỹ" thì mình viết Vecto(XY) thay vì viết bằng mũi tên trên đầu vectơ.