Giải như sau:
Bài 1: Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$
Do đó BDT cần cm thành: $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\le \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$
Điều này hết sức đơn giản. Nhân cả 2 vế với 2 sau đó chuyển vế được:
$(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y})^2+(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z})^2+(\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{x})^2\geq 0$
Suy ra $VP-VT\geq 0$ suy ra $VT\le VP$ điều phải chứng minh
Dấu $"="$ khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
Bài 2:
Ta có: $(a+b)^2\geq 4ab=4$ suy ra $a+b\geq 2$ (dấu $"="$ khi $a=b=1$ <1>)
Đặt $a+b=x$
Suy ra biến đổi VT thành $\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3x}{4}\le 2.\sqrt{\dfrac{x}{4}*\dfrac{1}{x}}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}$
Dấu $"="$ khi $a+b=2$ lại theo <1> thì $a=b=1$
Giải thích lý do lấy $\dfrac{x}{4}$ là vì thế này:
Chia cho 1 số thích hợp để khi dùng BDT Cô si thì dấu bằng xảy ra.
Thì dụ nếu trong bài trên bạn không chia 4 mà lấy luôn cô si 2 số thì dâu "=" khi $a+b=1$ mâu thuẫn rằng ta đã chứng minh $a+b\geq 2$
Tóm lại để tìm số chia cho phù hợp thì phải xét dấu bằng xảy ra khi nào
Ở ví dụ trên dấu "=" khi $a+b=2$ khi đó $a+b=2$ trong khi đó $\dfrac{1}{a+b}$ chỉ bằng $\dfrac{1}{2}$ nên phải chia 4 ở $a+b$
Bài 3:
Sai đề do thay $a=2$ thì không đúng nữa
Bài 4: Theo em đề bài phải là tìm min. Phân thức này không có max, vì:
Biến đổi pt thành $1-(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1989}{x^2})=\dfrac{1989}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1$
Đặt $\dfrac{1}{x}=t$
Suy ra pt thành: $1989t^2-2t+1=1989(t-\dfrac{1}{1989})^2+\dfrac{1988}{1989}$ nhu vậy $min = \dfrac{1988}{1989} <=> t=\dfrac{1}{1989}$
Hay $x=1989$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 06-12-2011 - 18:55
