Chủ đề này có 3 trả lời

[MrMATH]

Cho tập hợp các số tự nhiên $A=\{a_1,a_2,.....,a_n \}$ thỏa mãn với 2 tập con B,C của A thì tổng các phần tử của B và tổng các phần tử của C là khác nhau.
CMR $a_1+a_2+.....+a_n\ge{1+2+........+2^{n-1}}$

P.S: bài này dễ quá nhỉ, hù dọa tẹo.......cho vuiiiiiiiiiii

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-04-2013 - 10:38

[hoang]

Xét đa thức $P(x)=(1+x^{a_1}).........(1+x^{a_n})$

 

 Nhận xét rằng khi khai triển tích này ra  thì ta sẽ được các hạng tử dạng : $ x^{a_{ i_{1}} +...+ a_{i_{k}}}$

( Tổng của $k$ số khác nhau bất kỳ trong tập $n$ số ban đầu )

Từ giả thuyết của bài toán, ta có tất cả các hạng tử này đều có số mũ khác nhau và có $2^n $;$2^{n-1}$;...

 

Kết hợp với nhận xét bậc của $P(x)$ chính là tổng của $n$ số đã cho ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-04-2013 - 10:43

[MrMATH]

Cách này "quần chúng" hơn 1 tẹo: đối với mỗi tập con của A ta tính tổng các phần tử của nó. Tất cả các tổng này đều là số tự nhiên và khác nhau. Chú ý rằng A có đúng $2^n-1$ tập con khác rỗng. Từ đó suy ra đpcm

P.S1: để chứng minh công thức về số tập con của A có 2 cách: cách 1 là đếm số tập con có k phẩn tử rồi cộng lại, áp dụng công thức khai triển nhị thức newon, cách 2 là sử dụng chuỗi nhị phân: 000....000 (có n vị trí) mỗi vị trí tượng trưng cho 1 phần tử của A, .............

P.S2: cách của anh hoanq là dựa trên ý tưởng về hàm dẫn xuất, khá hữu ích trong việc chứng minh các công thức tổ hợp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 06-04-2013 - 10:44

[lehoan]

Với giả thiết như trên có hay chăng khẳng định sau đây:

. Đây là vấn đề khá thú vị.