Chủ đề này có 5 trả lời

[PSW]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương :

$3^{a} = 2b^2 +1$

[hxthanh]

Xét phương trình nghiệm nguyên dương $3^a=2b^2+1\;\;(*)$

$(a>0)\Rightarrow 3^a=2b^2+1\equiv 0 \pmod{3}\Rightarrow b^2\equiv 1\pmod{3}\;\;(1)$

$a=2k,\;k\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow (3^k-1)(3^k+1)=2b^2$ Do đó từ (1) suy ra $\boxed{a=2;\;b=2}$ là nghiệm của (*)

$a=2k+1,\;k\in \mathbb{N}\Rightarrow (3^k-1)(3^k+1)=2(b-3^k)(3^k+b)\;\;(2)$

Trong (2) nếu $k=0$ suy ra $b=1$. Vậy $\boxed{a=1;\;b=1}$ là nghiệm của (*)

Ngoài ra $k=2$ tức là $a=5$ thì (2) cũng có $b=11$ là nghiệm. Suy ra $\boxed{a=5;\;b=11}$ là nghiệm của (*)
_________________________________________________________________________
Đó đã phải là tất cả nghiệm của (2) chưa? (Chưa chứng minh được! thì phải hỏi PSW )

[vitcoi]

Cách này ko hay và cũng sẽ chẳng ra nổi kết quả đâu thầy ạ. Em có 1 cách tuy hơi dài nhưng đã giải quyết trọn vẹn bài toán rồi.
Nhắc nhở bạn vitcoi là bạn phải trình bày rõ ràng nếu chỉ viết vậy sẽ bị coi là spam và nghiã vụ của chúng tôi là xoá nhưng bài như vậy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 21-12-2011 - 12:46

[Secrets In Inequalities VP]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương :

$3^{a} = 2b^2 +1$

Các bước chính để giải bài này :
+ Xét $a$ chẵn : Dễ
+ Xét $a$ lẻ .$a=2k+1$.Đặt $x= 3^{k},y= n$ được pt $Pell$ $3x^{2}-2y^{2}= 1$
Giải ra rồi xét Mod $27$ và $17$ là ra ngay.
Lời giải chi tiết mình sẽ post sau

@supermember: cám ơn bạn vì đã chú ý 1 bài Toán khá cũ còn tồn đọng như thế này

VMF cần có nhiều người như bạn để tránh lãng phí những bài hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-01-2013 - 22:20

[Joker9999]

Các bước chính để giải bài này :

Giải phương trình nghiệm nguyên dương :
$3^{a} = 2b^2 +1$

Lời giải:

TH2: Ta đi giải phương trình Pell
$3k^2-2x^2=1$ với $k=3^n,a=2n+1$
Xét $k=0\Leftrightarrow a=b=1$
Xét $k=1,$ dễ loại
Xét $k=2\Rightarrow a=5,b=11$
Xét $k\geq 3$
đây là phương trình Pell tổng quát $Ax^2-By^2=1$, ta cứ làm theo CT nghiệm
Thấy $(a,b)=(5,2)$ là nghiệm nguyên thủy bé nhất của $x^2-ABy^2=1$ hay $k^2-6x^2=1$ $(2)$
Do đó mọi nghiệm của $(1)$ có dạng $k_{n+2}=2a.k_{n+1}-k_n$ và tương tự với $x_{n+2}$
Nhưng ta chỉ chú ý $k$ vì $k=3^n$ và do $a=5$ (theo $(2)$) nên suy ra $k_{n+2}=10k_{n+1}-k_n$
Do đó ta có dãy nghiệm
$k_0=1$
$k_1=9$
$k_2=10*9-1=89$
$....$
$k_{n+2}=10.k_{n+1}-k_n$
$\blacksquare$ Ta xét các số dư của $k_i$ khi chia cho $27$
Gọi $h_i$ là số dư của $k_i$ khi chia cho $27$
Như vậy $k_{n+2}=10.k_{n+1}-k_n \Rightarrow h_{n+2}=10.h_{n+1}-h_n$
Dễ thấy $k_0=1,k_1=9$
Nên $h_0=1,h_1=9$
Do đó ta có dãy
$(h_0,h_1,h_2,h_3,h_4,h_5,h_6,h_7,h_8,h_9,h_{10},h_{11},h_{12},h_{13},h_{14},h_{15},h_{16},h_{17},h_{18},h_{19},h_{20},h_{21},h_{22})=(1,9,8,17,0,10,19,18,26,26,18,19,10,0,17,8,9,1,1,9,8,17,0)$
Ta thấy số $0$ đã lặp lại ở cách xét trên và dãy trên có quy luật hay với $h_i$ và $i \equiv 4 \pmod{9}$ thì $k_i \vdots 27$ (do đối chiếu với dãy trên ta thấy $h_4,h_{13},h_{22}$ là $0$ hay $k_{4},k_{13},k_{22}$ chia hết cho $27$)
$\blacksquare$ Giờ ta lại xét $r_i$ là số dư của $k_i$ khi chia cho $17$
Làm tương tự ta có
$(r_0,r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,r_7,r_8,r_9,r_{10},r_{11},r_{12},r_{13},r_{14},r_{15},r_{16},r_{17},r_{18},r_{19},r_{20},r_{21},r_{22})=(1,9,4,14,0,3,13,8,16,16,8,13,3,0,14,4,9,1,1,9,4,14,0)$
Ta cũng thấy số $0$ đã lặp lại ở cách xét trên hay dãy trên có quy luật hay với $r_i$ và $i \equiv 4 \pmod{9}$ thì $k_i \vdots 17$
Mặt khác ta thấy $k_i=3^n$ mà $n\geq 3$ nên $3^n \vdots 27$ nên theo cách xét đầu suy ra $i \equiv 4 \pmod{9}$ nhưng khi đó theo cách xét thứ hai thì khi ấy $k_i \vdots 17 \Rightarrow 3^n \vdots 17$ với $n\geq 3$ và đây là điều vô lý
Do đó phương trình chỉ có nghiệm như đầu bài
Vậy $\boxed{(a,b)=(1,1),(5,11)}$

[nguyenta98]

Mình đã giải tại đây khá lâu rồi http://diendantoanho...rac32n-1-12-x2/

Giải như sau:
Dễ thấy $(n,x)=(0,1),(2,11)$ là nghiệm
Nên ta xét $n\geq 3$ khi ấy $3^n \vdots 27$
Viết lại phương trình dưới dạng:
$$3.(3^n)^2=2x^2+1$$
$$\Leftrightarrow 3k^2-2x^2=1 (1)$$
Với $3^n=k$
Nhận thấy phương trình trên là phương trình có dạng $Ax^2-By^2=1$ là phương trình Pell tổng quát nên theo công thức nghiệm ta làm như sau
Bước 1: Xét phương trình $x^2-ABy^2=1$ có nghiệm bé nhất là $a,b$
Bước 2: Tìm nghiệm nguyên thủy $x_0,y_0$ và nghiệm nhỏ nhất khác nguyên thủy $x_1,y_1$ của phương trình $Ax^2-By^2=1$
Bước 3: Xác định nghiệm tổng quát của phương trình $Ax^2-By^2=1$ là $x_{n+2}=2.a.x_{n+1}-x_n$ và $y_{n+2}=2.a.y_{n+1}-y_n$
Áp dụng ta làm:
Thấy $(a,b)=(5,2)$ là nghiệm nguyên thủy bé nhất của $x^2-ABy^2=1$ hay $k^2-6x^2=1$ $(2)$
Do đó mọi nghiệm của $(1)$ có dạng $k_{n+2}=2a.k_{n+1}-k_n$ và tương tự với $x_{n+2}$
Nhưng ta chỉ chú ý $k$ vì $k=3^n$ và do $a=5$ (theo $(2)$) nên suy ra $k_{n+2}=10k_{n+1}-k_n$
Do đó ta có dãy nghiệm
$k_0=1$
$k_1=9$
$k_2=10*9-1=89$
$....$
$k_{n+2}=10.k_{n+1}-k_n$
$\blacksquare$ Ta xét các số dư của $k_i$ khi chia cho $27$
Gọi $h_i$ là số dư của $k_i$ khi chia cho $27$
Như vậy $k_{n+2}=10.k_{n+1}-k_n \Rightarrow h_{n+2}=10.h_{n+1}-h_n$
Dễ thấy $k_0=1,k_1=9$
Nên $h_0=1,h_1=9$
Do đó ta có dãy
$(h_0,h_1,h_2,h_3,h_4,h_5,h_6,h_7,h_8,h_9,h_{10},h_{11},h_{12},h_{13},h_{14},h_{15},h_{16},h_{17},h_{18},h_{19},h_{20},h_{21},h_{22})=(1,9,8,17,0,10,19,18,26,26,18,19,10,0,17,8,9,1,1,9,8,17,0)$
Ta thấy số $0$ đã lặp lại ở cách xét trên và dãy trên có quy luật hay với $h_i$ và $i \equiv 4 \pmod{9}$ thì $k_i \vdots 27$ (do đối chiếu với dãy trên ta thấy $h_4,h_{13},h_{22}$ là $0$ hay $k_{4},k_{13},k_{22}$ chia hết cho $27$)
$\blacksquare$ Giờ ta lại xét $r_i$ là số dư của $k_i$ khi chia cho $17$
Làm tương tự ta có
$(r_0,r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6,r_7,r_8,r_9,r_{10},r_{11},r_{12},r_{13},r_{14},r_{15},r_{16},r_{17},r_{18},r_{19},r_{20},r_{21},r_{22})=(1,9,4,14,0,3,13,8,16,16,8,13,3,0,14,4,9,1,1,9,4,14,0)$
Ta cũng thấy số $0$ đã lặp lại ở cách xét trên hay dãy trên có quy luật hay với $r_i$ và $i \equiv 4 \pmod{9}$ thì $k_i \vdots 17$
Mặt khác ta thấy $k_i=3^n$ mà $n\geq 3$ nên $3^n \vdots 27$ nên theo cách xét đầu suy ra $i \equiv 4 \pmod{9}$ nhưng khi đó theo cách xét thứ hai thì khi ấy $k_i \vdots 17 \Rightarrow 3^n \vdots 17$ với $n\geq 3$ và đây là điều vô lý
Do đó phương trình chỉ có nghiệm như đầu bài
Vậy $\boxed{(n,x)=(0,1),(2,11)}$

P/S chú ý con $n$ ở $3^n$ khác với con $n$ ở $k_n,r_n,h_n$ nhé mong mọi người thông cảm

P/S lần sau chị Joker9999 nên làm "trích dẫn" bài làm người khác nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-01-2013 - 23:04