Đến nội dung

Hình ảnh

Cho 3 số phân biệt a,b,c. CMR có ít nhất 1 trong 3 số sau đây là số dương:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
samset333

samset333

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
BÀI 1: Cho 3 số phân biệt a,b,c. CMR có ít nhất 1 trong 3 số sau đây là số dương:
$x=(a+b+c)^{2}-9ab ;y=(a+b+c)^{2}-9bc; z=(a+b+c)^{2}-9ac$

BÀI 2: CMR: nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a+b+c<0 thì P= $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc<0$

BÀI 3: CMR: A=$\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{25}+.....+\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}<\dfrac{1}{4}$ với n thuộc Z, n>1.

BẦI 4: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác. CMR:
$\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}<\sqrt{3}(a+b+c)$

BÀI 5: Cho a,b,c là các số dương. CMR:
$\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2$

BÀI 6: Cho a,b,c là các số dương:
CMR: ${\dfrac{a}{b+c}}+{\dfrac{b}{c+d}}+{\dfrac{c}{d+a}}+\dfrac{d}{a+b}\geq 2$

BÀI 7: CMR: $\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}+4\geq 3\left ( \dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x}\right )$

BÀI 8: Cho a+b=2. CMR:$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\leq 2$

AI MÀ LÀM HẾT ĐƯỢC VÀ CÓ LỜI GIẢI RÕ RÀNG MÌNH SẼ CẢM ƠN RẤT NHIỀU ĐẤY! :icon10:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi samset333: 07-12-2011 - 21:50


#2
sherry Ai

sherry Ai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
Bài 2: $a+b+c < 0 \Rightarrow a+b < -c \Leftrightarrow (a+b)^{3} < (-c)^{3}$
$\Leftrightarrow a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} < -c^{3} \Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3} < -3ab(a+b)$
mà $a+b <-c \Rightarrow -3ab(a+b)<3abc \Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}<3abc \Rightarrow Q.E.D$

MoD: Mong bạn tập gõ latex.

bài 6 có nhầm đề ko bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-12-2011 - 22:29


#3
peacemaker

peacemaker

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Bài 3:
$\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}<\dfrac{1}{(2n+1)^2-1}=\dfrac{1}{4n(n+1)}=\dfrac{1}4{}.(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})$
$\Rightarrow A<\dfrac{1}{4}.(1-\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-...+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})=\dfrac{1}{4}.(1-\dfrac{1}{n+1})<\dfrac{1}{4}$
Bài 7:
$\Leftrightarrow (\dfrac{x^{2}}{y^2}+2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2})-3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+2\geq 0\Leftrightarrow (\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})^2-3(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x})+2\geq 0$
Đặt $t=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
bpt trở thành $t^2-3t+2\geq 0\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$ luôn đúng do $t\geq 2$
Bài 4:(cm vế trái)
Áp dụng bdt Cauchy - Schwarz cho 2 số $\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(a+b)\leq \sqrt{a^2+b^2}$
tương tự $\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(b+c)\leq \sqrt{b^2+c^2}$ và $\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}(c+a)\leq \sqrt{c^2+a^2}$
cộng vào ta có đpcm
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\Rightarrow$ tam giác ABC đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi peacemaker: 09-12-2011 - 21:03

Rồi sẽ đến ngày...

...

VMF là trái tim của tôi...


#4
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Bài 8:
Đặt $\sqrt[3]{x}=a$ và $\sqrt[3]{y}=b$
Suy ra $x^3+y^3=2$ và ta cần chứng minh $x+y\le 2$
Thật vậy do $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=2$
Lại có $3xy\le \dfrac{3(x+y)^2}{4}=3$
Nên $x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=4-3xy\geq 4-3=1$ <1>
Cũng có $x+y=\dfrac{2}{x^2-xy+y^2}$ mà theo <1> suy ra $x+y\le 2$ hay $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\le 2$ suy ra $đpcm$
Dấu $"="$ xảy ra $<=>$ $a=b=1$

Bài 1:
Từ đề bài suy ra $x+y+z=(a+b+c)^2-9bc+(a+b+c)^2-9ab+(a+b+c)^2-9ac$
Suy ra $x+y+z=3a^2+3b^2+3c^2-3bc-3ab-3ac$
Suy ra $2(x+y+z)=3(2a^2+2b^2+2c^2-2bc-2ab-2ac)=3((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ (nhân 2 cả 2 vế và tách nhóm)
Theo đề bài $a,b,c$ khác nhau đôi một nên $3((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0$ suy ra $2(x+y+z)>0$ hay $x+y+z>0$ <1>
Đến đây mọi chuyện đã rõ. Nếu trong 3 số $x,y,z$ không có số nào dương thì $x+y+z<0$ mâu thuẫn <1>
Suy ra $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 10-12-2011 - 19:44





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh