Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM: $0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \dfrac{7}{27}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 truongson463

truongson463

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 11-12-2011 - 11:29

$a,b,c>0 \text{ and } a+b+c=1. \text{Proove:} 0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \dfrac{7}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2011 - 12:01


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-12-2011 - 12:35

$a,b,c>0 \text{ and } a+b+c=1. \text{Proove:} 0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \dfrac{7}{27}$


Ta có: $$ab + bc + ca - 2abc = a\left( {b + c} \right) + bc - 2abc$$
Cố định $a$ xét $$f\left( {bc} \right) = a\left( {1 - a} \right) + bc - 2abc - \dfrac{7}{{27}}$$
$$bc \le \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow bc \in \left[ {0,\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4}} \right]$$
Khi đó: $$f\left( 0 \right) = a\left( {1 - a} \right) - \dfrac{7}{{27}} = - {a^2} + a - \dfrac{7}{{27}} < - \left( {{a^2} - a + \dfrac{1}{4}} \right) = - {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0$$
$$f\left( {\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4}} \right) = a\left( {1 - a} \right) + \dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4} - 2a\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4} - \dfrac{7}{{27}} = - \dfrac{1}{2}{\left( {a - \dfrac{1}{3}} \right)^2}\left( {a + \dfrac{1}{6}} \right) \le 0$$
$$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4}} \right) \le 0$$
Từ đó suy ra đpcm.
_________________________________________________________________________________
Bài này còn có các cách chứng minh khác. Bạn suy nghĩ cho các cách đó nhé.

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 11-12-2011 - 15:05

Cách 2:
Theo giả thiết ta có: a,b,c nằm trong đoạn [0;1] do đó
$ab + bc + ac - 2abc \ge 3(abc)^{\dfrac{2}{3}} - 2abc \ge 3abc - 2abc = abc \ge 0$
Theo BĐT Schur ta có:
abc$\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)\Leftrightarrow \dfrac{9abc+1}{4}\geq ab+bc+ac$
ab+bc+ac-2abc$\leq abc(\dfrac{9}{4}-2)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{abc}{4}+\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{(a+b+c)^3}{4.27}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{27}$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh