cho tam giác ABC đều.Gọi M là điểm bất kì trong tam giác đó. Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với BC,AC,AB . xác định M để
$\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm min $\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD}$
Started By hmtri147, 11-12-2011 - 17:35
#1
Posted 11-12-2011 - 17:35
#2
Posted 11-12-2011 - 17:53
Tam giác đều có tính chất $MD+ME+MF=h$ với h là chiều cao tam giác (cm bằng diện tích)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz:
$((MD+ME)+(ME+MF)+(MF+MD)).(\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD})\geq 9$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD} \geq \dfrac{9}{2h}$
Dấu = xảy ra khi $MD=ME=MF=\dfrac{h}{3}$, tức M là trọng tâm tam giác ABC
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz:
$((MD+ME)+(ME+MF)+(MF+MD)).(\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD})\geq 9$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD} \geq \dfrac{9}{2h}$
Dấu = xảy ra khi $MD=ME=MF=\dfrac{h}{3}$, tức M là trọng tâm tam giác ABC
Edited by peacemaker, 12-12-2011 - 14:28.
- hmtri147 likes this
Rồi sẽ đến ngày...
...
VMF là trái tim của tôi...
#3
Posted 11-12-2011 - 18:50
Theo mình thấy thì khúc nàyTam giác đều có tính chất $MD+ME+MF=h$ với h là chiều cao tam giác (cm bằng diện tích)
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz:
$((MD+ME)(ME+MF)(MF+MD)).(\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD})\geq 9$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD} \geq \dfrac{9}{2h}$
Dấu = xảy ra khi $MD=ME=MF=\dfrac{h}{3}$, tức M là trọng tâm tam giác ABC
$((MD+ME)(ME+MF)(MF+MD)).(\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD})\geq 9$
phải là
$(MD+ME+ME+MF+MF+MD).(\dfrac{1}{MD+ME}+\dfrac{1}{ME+MF}+\dfrac{1}{MF+MD})\geq 9$
#4
Posted 12-12-2011 - 14:33
Lỗi của mình, chưa quen dùng Latex
Rồi sẽ đến ngày...
...
VMF là trái tim của tôi...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users