Ngồi ham hố thì làm được bài olympiad
NTP đội
gama giải
bài 6 đội
deltaThế $m=2$,thì $g(m)=2$
$m=3$ thì $g(m)=3$;
$m=4$ thì $g(m)=4$;
$m \in \left\{ {5;6} \right\}$ thì $g(m)=5$
$m=7$ thì dãy là vòng tuần hoàn 7,8,9,10 nên $g(m)=7$
Ta chứng minh bằng quy nạp rằng với $m>6$ thì dãy sẽ toàn các số lớn hơn 6 và $g\left( m \right) = 7$ (*)
Giả sử (*) đúng tới $b-1$, ta sẽ chứng minh nó đúng với b
Ta có các nhận xét sau:
NX1: ${a_k} > 2$ khi m>6, đó là do tính chất của 2 phép biến đổi.
NX2: quá trình biến đổi ${a_{n + 1}} = {a_n} + 1$ không thể liên tiếp quá 3 lần với $m>6$
Chứng minh: giả sử quá trình đó bắt đầu từ ${a_k}$, liên tiếp 4 lần tới ${a_{k + 4}}$, khi đó ${a_k},{a_{k + 1}},{a_{k + 2}},{a_{k + 3}}$ là 4 số tự nhiên liên tiếp và đều là lũy thừa của một số nguyên tố, nhưng trong đó lại có 2 số chẵn liên tiếp và lớn hơn 2, tức là có một số chia 4 dư 2, không thể là lũy thừa của 1 số nguyên tố. Ta có đpcm.
NX3: $a;b>1$ thì $\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 1 \Rightarrow ab \ge a + b$
Bây giờ thay $m=b$, giả sử M là số đầu tiên sử dụng phép biến đổi 2, do
NX2, ta thấy $b \le M \le b + 3$
mặt khác
\[M = {p_1}^{{k_1}}{p_2}^{{k_2}}.....{p_n}^{{k_n}} \Rightarrow f\left( M \right) = {p_1}^{{k_1}} + {p_2}^{{k_2}} + ..... + {p_n}^{{k_n}} \le {p_1}^{{k_1}} + {p_2}^{{k_2}}.....{p_n}^{{k_n}} = {p_1}^{{k_1}} + \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}}\]
Với ${p_1}$ là số nguyên tố nhỏ nhất mà M chia hết.
Ta sẽ chứng minh $\left( {{p_1}^{{k_1}} - 1} \right)\left( {\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} - 1} \right) \ge 5$
Một chú ý : \[\left( {{p_1}^{{k_1}};\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}}} \right) = 1,\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} > 2\]
Ta chứng minh bằng phản chứng
Với ${p_1}^{{k_1}} = 2 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \le 6,\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \ne 2n\Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 3 \Rightarrow M = 6 < 7 < b$ (loại)
hoặc $\dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 5 \Rightarrow M = 10 \Rightarrow f\left( M \right) = 7$ (đúng với đpcm)
Với ${p_1}^{{k_1}} = 3 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \le 3,5 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 2$ (loại)
Với ${p_1}^{{k_1}} \ge 4 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} \le \dfrac{5}{3}+1 \Rightarrow \dfrac{M}{{{p_1}^{{k_1}}}} = 2$ (loại)
Vậy $f\left( M \right) \le b - 1$, theo giả thuyết quy nạp, các số của dãy từ M trở đi sẽ đều lớn hơn 7, và sẽ có lúc chạm tới 7, tạo thành 1 vòng tuần hoàn 7,8,9,10 từ đó $g(m)=7$
kết luận$g(m)=m$ với $m \in \left\{ {2;3;4} \right\}$
$g(m)=5$ với $m \in \left\{ {5;6} \right\}$
$g(m)=7$ với $m>6$
PSW : Good
8/8 điểm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 11-02-2012 - 00:00