Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Thi học sinh giỏi Quận Đống Đa 2011-2012

Thi học sinh giỏi Quận Đống Đ Thi học sinh giỏi Quận Đống Đ Thi học sinh giỏi Quận Đống Đ

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 phamvanha92

phamvanha92

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 164 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-12-2011 - 23:52

Hot Hot!!!

MoD: Mình type lại đề nhìn cho dễ.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011-2012
MÔN: TOÁN
NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012
THỜI GIAN: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
\[A = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {2 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{4 + \sqrt {4 - {x^2}} }}\]
với $-2 \leq x \leq 2$.

Bài 2: (6,0 điểm)
1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho $\sqrt[3] m$ là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để:
\[ a \sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0 \]
2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.

Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn:
\[ |x-10| + |x-11| + |x+101| + |x+990| + |x+1000|=2012 \]
2) Chứng minh rằng có thể chia một tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên thành 6 phần diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.

Bài 4: (4,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt AB,AC thứ tự tại M,N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I,K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành.
2) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Bài 5: (2,0 điểm)
Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng có 3 điểm trong 51 điểm đã cho cùng nằm trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 15-01-2012 - 19:05


#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 15-12-2011 - 00:34

Lần sau gửi bài thì chịu khó ngồi gõ lại nhé. Để vậy nhìn dễ bị cận thị lắm.
Bài 5:
Chia hình vuông thành 25 hình vuông bằng nhau có cạnh bằng 1,4
51 = 2.25+1
Theo nguyên tắc Đirichlet có ít nhất 3 điểm nằm trong hình vuông
Ta có bán kính 1 đường tròn trong ngoại tiếp 1 hình vuông là $4R^2=1,4^2+1,4^2\Rightarrow R=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}<1$
Do đó tồn tại ít nhất 3 điểm trong 51 điểm nằm trong 1 đường tròn bán kinh bằng 1
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#3 Đoàn Quốc Việt

Đoàn Quốc Việt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh Bảo - Hải Phòng

Đã gửi 16-12-2011 - 11:10

1) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất.


Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
Hình đã gửi
Dễ thấy $A,Q,M,H,P$ nằm trên đường tròn $(O)$
Do cung $PQ$ chắn góc A không đổi nên $PQ$ ngắn nhất khi đường kính $AM$ ngắn nhất.
Điều này xảy ra khi $M$ trùng với $H$.
Không cần chữ kí.

#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 16-12-2011 - 19:27

Bài 2:
2) Gọi số cần tìm là \[\overline {abcd} \]
Theo giả thiết (i), ta có:
\[a < b < c < d\]
\[\begin{array}{l} c < d \Rightarrow c \le d - 1 \Leftrightarrow \dfrac{c}{d} \le \dfrac{{d - 1}}{d} = 1 - \dfrac{1}{d} \\ a < b \Rightarrow a \le b - 1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} \le \dfrac{{b - 1}}{b} = 1 - \dfrac{1}{b} \\ b < c \Rightarrow b \le c - 1 \le d - 2 \\ d \le 9 \Leftrightarrow b \le 7 \\ \end{array}\]
\[ \Rightarrow p + q = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \le 2 - \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}} \right) \le 2 - \left( {\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9}} \right) = \dfrac{{110}}{{63}}\]
Mà do (ii) nên đẳng thức xảy ra. Do đó:
\[\left\{ \begin{array}{l} c = d - 1 \\ a = b - 1 \\ d = 9 \\ b = 7 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \overline {abcd} = 6789\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-12-2011 - 19:31

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#5 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4260 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 14-01-2012 - 14:07

Bài 3: (4,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn:
\[ |x-10| + |x-11| + |x+101| + |x+990| + |x+1000|=2012 \]

Biến đổi
$$\begin{array}{l} |x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \\ =|x+990|+|x+1000|+|10-x|+|11-x| \\ \ge |x+990+x+1000+10-x+11-x|=2011 \end{array}$$
Do $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \le 2012$.
  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2011$ thì $|x+101|=1 \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x+101=1 & & \\ x+101=-1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=-100 & & \\ x=-102 & & \end{matrix}\right.$
  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2012$ thì $|x+101|=0 \Rightarrow x=-101$.
$\boxed{\text{Kết luận}}$. Ta tìm được $x \in \{ -100,-102, - 101 \}$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 14-01-2012 - 14:28

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#6 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 15-01-2012 - 17:20

Bài 1: (4,0 điểm)
Rút gọn biểu thức:
\[A = \dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt {4 - {x^2}} } \left[ {\sqrt {{{\left( {2 + x} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^3}} } \right]}}{{4 + \sqrt {4 - {x^2}} }}\]
với $-2 \leq x \leq 2$.

Bài 2: (6,0 điểm)
1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho $\sqrt[3] m$ là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để:
\[ a \sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0 \]

Bài 1:
Đặt $a = \sqrt {2 + x} ;{\rm{ b}} = \sqrt {2 - x} {\rm{ (a, b}} \ge {\rm{0)}}$
$ \Rightarrow a^2 + b^2 = 4;{\rm{ }}a^2 - b^2 = 2x$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a^3 - b^3 } \right)}}{{4 + ab}} = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {a^2 + b^2 + ab} \right)}}{{4 + ab}}$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {4 + ab} \right)}}{{4 + ab}} = \sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {4 + 2ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {\left( {a^2 + b^2 + 2ab} \right)} \left( {a - b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = a^2 - b^2 = 2x \Rightarrow A = x\sqrt 2 $
Bài 2:
$a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (1)
Giả sử tồn tại (1) $a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (2)
Từ (1)(2) $ \Rightarrow (b^2 - ac)\sqrt[3]{m} = (a^2 m - bc){\rm{ }}$
Nếu $a^2 m - bc \ne 0$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{m} = \frac{{a^2 m - bc{\rm{ }}}}{{b^2 - ac}}$ là số vô tỉ. Trái giả thiết!!
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^2 - ac = 0 \\
a^2 m - bc = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^3 = abc \\
bc = am^2 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow b^3 = a^3 m \Rightarrow b = a\sqrt[3]{m}$. Nếu b khác 0 thì $\sqrt[3]{m} = \frac{b}{a}$ là số vô tỉ. Trái Giả thiết
$ \Rightarrow a = 0;b = 0$ từ đó ta tìm được c = 0

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#7 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 17-01-2012 - 19:19

Bài 3:
Xét tam giác ABC vuông tại A.Gọi độ dài BC,AC,AB lần lượt là a,b,c(a,b,c thuộc N*)
Ta cần chứng minh$\bigtriangleup ABC\vdots 6$
<=>bc$\vdots$12<=>Ta cần chứng minh bc$\vdots 3$ và $\vdots 4$
**Chứng minh bc$\vdots 3$:
Giả sử trong hai số b và c không có số nào $\vdots 3$.=>b,c chỉ có dạng b3+1 hoặc b3-1(b3 là bội số của 3)
=>$b^{2}+c^{2}$ có dạng b3-1(Bình phương lên sẽ thấy)
=>$a^{2}$ có dạng b3-1. (1)
+a có dạng b3 =>$a^{2}$ dạng b3
+a có dạng b3+1 hoặc b3-1=>$a^{2}$ dạng b3+1
=>$a^{2}$ có dạng b3 hoặc b3+1. Điều này trái với (1)=> vô lí.
Vậy => trong b và c có ít nhất một số chia hết cho 3=> bc chia hết cho 3
**Chứng minh bc chia hết cho 4 cũng tương tụ nhu trên vói 4 TH:b4;b4+1;b4-1;b4+2
Kết luận bc chia hết cho 12=>$\bigtriangleup ABC\vdots 6$
Vậy bài toán được chứng minh

Hình đã gửi


#8 taduyhung

taduyhung

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:chả thích gì cả!!!

Đã gửi 13-12-2013 - 20:54

Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
750d84c3c54b19b2aff9262f5c47571f_3897381
Dễ thấy $A,Q,M,H,P$ nằm trên đường tròn $(O)$
Do cung $PQ$ chắn góc A không đổi nên $PQ$ ngắn nhất khi đường kính $AM$ ngắn nhất.
Điều này xảy ra khi $M$ trùng với $H$.µi

bài này ngược dấu rồi.


Sông vô tình nên ngàn năm trôi mãi

Mây hững hờ nên để núi bơ vơ

$118\sqrt{ey80}$

:wub: >:)


#9 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-01-2014 - 17:21

Bài 2: (6,0 điểm)
2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn:
(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.

 

Bài 2:
2) Gọi số cần tìm là \[\overline {abcd} \]
Theo giả thiết (i), ta có:
\[a < b < c < d\]
\[\begin{array}{l} c < d \Rightarrow c \le d - 1 \Leftrightarrow \dfrac{c}{d} \le \dfrac{{d - 1}}{d} = 1 - \dfrac{1}{d} \\ a < b \Rightarrow a \le b - 1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} \le \dfrac{{b - 1}}{b} = 1 - \dfrac{1}{b} \\ b < c \Rightarrow b \le c - 1 \le d - 2 \\ d \le 9 \Leftrightarrow b \le 7 \\ \end{array}\]
\[ \Rightarrow p + q = \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \le 2 - \left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}} \right) \le 2 - \left( {\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9}} \right) = \dfrac{{110}}{{63}}\]
Mà do (ii) nên đẳng thức xảy ra. Do đó:
\[\left\{ \begin{array}{l} c = d - 1 \\ a = b - 1 \\ d = 9 \\ b = 7 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \overline {abcd} = 6789\]

Bài này hình như anh Hân làm nhầm  rồi ạ !

Đáp án là $$\boxed{\overline {abcd}=1349}$$

Lời giải : 

Gọi số đó là $\overline {abcd}(d>c>b>a)$

Khi đó thì $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$

$p+q=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$

Để $p+q$ nhỏ nhất thì $a=1,d=9\rightarrow p+q=\frac{c}{9}+\frac{1}{b}$

Đặt $c=b+m(m\geq 1)$

$\Rightarrow p+q=\frac{c}{9}+\frac{1}{b}=\frac{b}{9}+\frac{1}{b}+\frac{m}{9}\geq \frac{2}{3}+\frac{m}{9}\geq \frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$

Min $p+q=\frac{7}{9}\Leftrightarrow m=1\Leftrightarrow b=3,c=4$

Vậy $$\boxed{\overline {abcd}=1349}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 09-01-2014 - 17:23


#10 monkeydlaxus

monkeydlaxus

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết

Đã gửi 09-12-2016 - 20:46

Bài 1:
Đặt $a = \sqrt {2 + x} ;{\rm{ b}} = \sqrt {2 - x} {\rm{ (a, b}} \ge {\rm{0)}}$
$ \Rightarrow a^2 + b^2 = 4;{\rm{ }}a^2 - b^2 = 2x$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a^3 - b^3 } \right)}}{{4 + ab}} = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {a^2 + b^2 + ab} \right)}}{{4 + ab}}$
$ \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)\left( {4 + ab} \right)}}{{4 + ab}} = \sqrt {2 + ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {4 + 2ab} \left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = \sqrt {\left( {a^2 + b^2 + 2ab} \right)} \left( {a - b} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)$
$ \Rightarrow A\sqrt 2 = a^2 - b^2 = 2x \Rightarrow A = x\sqrt 2 $
Bài 2:
$a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (1)
Giả sử tồn tại (1) $a\sqrt[3]{{m^2 }} + b\sqrt[3]{m} + c = 0$ (2)
Từ (1)(2) $ \Rightarrow (b^2 - ac)\sqrt[3]{m} = (a^2 m - bc){\rm{ }}$
Nếu $a^2 m - bc \ne 0$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{m} = \frac{{a^2 m - bc{\rm{ }}}}{{b^2 - ac}}$ là số vô tỉ. Trái giả thiết!!
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^2 - ac = 0 \\
a^2 m - bc = 0 \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b^3 = abc \\
bc = am^2 \\
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow b^3 = a^3 m \Rightarrow b = a\sqrt[3]{m}$. Nếu b khác 0 thì $\sqrt[3]{m} = \frac{b}{a}$ là số vô tỉ. Trái Giả thiết
$ \Rightarrow a = 0;b = 0$ từ đó ta tìm được c = 0

bạn ơi, câu 2 đoạn từ (1)(2) suy ra là như nào vậy, mình đọc không hiểu



#11 diemthiquyen

diemthiquyen

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Giang

Đã gửi 15-03-2017 - 17:43

câu 2 phần 2 bạn làm sai rồi p+q phải là nhỏ nhất chứ,bạn làm thành lớn nhất rồi.



#12 binh barcelona

binh barcelona

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-03-2018 - 23:06

ai vẽ cái hình ra đi



#13 bangvoip673

bangvoip673

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2018 - 20:18

Biến đổi
$$\begin{array}{l} |x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \\ =|x+990|+|x+1000|+|10-x|+|11-x| \\ \ge |x+990+x+1000+10-x+11-x|=2011 \end{array}$$
Do $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11| \le 2012$.

  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2011$ thì $|x+101|=1 \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x+101=1 & & \\ x+101=-1 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=-100 & & \\ x=-102 & & \end{matrix}\right.$
  • Nếu $|x+990|+|x+1000|+|x-10|+|x-11|=2012$ thì $|x+101|=0 \Rightarrow x=-101$.
$\boxed{\text{Kết luận}}$. Ta tìm được $x \in \{ -100,-102, - 101 \}$. $\blacksquare$

 

Làm thừa đáp án rồi bác ơi. Với -101 thì ko tm pt đâu, chỉ -100 và -102. Bác nên có dòng thử lại ở cuối bài thì chắc chắn hơn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh