Đến nội dung

Hình ảnh

${lim}_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-sin2x-cos2x}{1+sin2x-cos2x}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
hai_ddt_311

hai_ddt_311

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
Giúp em với: Tính các giới hạn sau:
1, ${lim}_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-sin2x-cos2x}{1+sin2x-cos2x}$
2, ${lim}_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{cos2x-2x}-\sqrt[4]{\sqrt{1+2x^2}-4x}}{x^2}$

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Giúp em với: Tính các giới hạn sau:
1, ${lim}_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-sin2x-cos2x}{1+sin2x-cos2x}$
2, ${lim}_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{cos2x-2x}-\sqrt[4]{\sqrt{1+2x^2}-4x}}{x^2}$


Hướng dẫn:

Câu 1: Dùng L'Hospital

Câu 2: Giải chi tiết

Đặt $$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {cos2x - 2x} - \sqrt[4]{{\sqrt {1 + 2{x^2}} - 4x}}}}{{{x^2}}}$$
Gọi $$A = cos2x - 2x = 1 - 2x + {x^2} - {x^2} - \left( {1 - cos2x} \right) = {\left( {1 - x} \right)^2} - {x^2} - 2{\sin ^2}x$$
$$ \Leftrightarrow A - {\left( {1 - x} \right)^2} = - {x^2} - 2{\sin ^2}x$$
Gọi $$B = \sqrt {1 + 2{x^2}} - 4x = 1 - 4x + 6{x^2} - 4{x^3} + {x^4} - {x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 1 + \sqrt {1 + 2{x^2}} $$
$$ = {\left( {1 - x} \right)^4} - {x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} - 1 + \sqrt {1 + 2{x^2}} $$
$$ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^4} - B = {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} + 1 - \sqrt {1 + 2{x^2}} $$
Khi đó: $$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\sqrt A - \left( {1 - x} \right)}}{{{x^2}}} + \dfrac{{\left( {1 - x} \right) - \sqrt[4]{B}}}{{{x^2}}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Đặt $${L_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt A - \left( {1 - x} \right)}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{A - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt A + \left( {1 - x} \right)} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - {x^2} - 2{{\sin }^2}x}}{{{x^2}\left( {\sqrt A + 1 - x} \right)}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - 1 - 2{{\left( {\dfrac{{\sin x}}{x}} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt A + 1 - x} \right)}} = \boxed{ - \dfrac{3}{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Đặt $${L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {1 - x} \right) - \sqrt[4]{B}}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^4} - B}}{{{x^2}\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}\sqrt[4]{B} + \left( {1 - x} \right)\sqrt B + \sqrt[4]{{{B^3}}}} \right]}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} + 1 - \sqrt {1 + 2{x^2}} }}{{{x^2}\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}\sqrt[4]{B} + \left( {1 - x} \right)\sqrt B + \sqrt[4]{{{B^3}}}} \right]}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} - 4x + 6 - \dfrac{{\sqrt {1 + 2{x^2}} - 1}}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3} + {{\left( {1 - x} \right)}^2}\sqrt[4]{B} + \left( {1 - x} \right)\sqrt B + \sqrt[4]{{{B^3}}}}} = \boxed{\dfrac{5}{4}\,}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\,\,\,\,\,do\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \,\dfrac{{\sqrt {1 + 2{x^2}} - 1}}{{{x^2}}} = 1$$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra: $$L = {L_1} + {L_2} = - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{4}\, = \boxed{ - \dfrac{1}{4}}$$

#3
hai_ddt_311

hai_ddt_311

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
Cái L'Hospital là gì vậy anh, anh nói rõ hơn được không ạ??

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
THPT không được học Quy tắc L'Hospital. Bài 1 có thể làm như thế này.

Ta có: $1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x$, khi đó:
$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sin 2x - \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2{{\sin }^2}x - \sin 2x}}{{2{{\sin }^2}x + \sin 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2{{\sin }^2}x - 2\sin x\cos x}}{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}$$
$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\sin x\left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{2\sin x\left( {\sin x + \cos x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \dfrac{{0 - 1}}{{0 + 1}} = \boxed{ - 1}$$

#5
taminhhoang10a1

taminhhoang10a1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
Bài 2 :$\lim (\dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}})$ (n nguyên dương )
Em nghĩ là nó = e nhưng sử dụng dịnh lí kẹp chỉ tìm ra 1 vế

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taminhhoang10a1: 16-12-2011 - 17:55

THPT THÁI NINH - THÁI THỤY - THÁI BÌNH

#6
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài 2 :$\lim (\dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}})$ (n nguyên dương )
Em nghĩ là nó = e nhưng sử dụng dịnh lí kẹp chỉ tìm ra 1 vế


Mình giải quyết theo hướng này.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
{x_n} = {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n}\\
{y_n} = 1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} +\dfrac{1}{{3!}}+ ... + \dfrac{1}{{n!}}
\end{array} \right.$ $n$ nguyên dương.

Ta có: $$\boxed{e =1+ \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} +\dfrac{1}{{3!}}+ ... + \dfrac{1}{{n!}} + \dfrac{\theta }{{\left( {n + 1} \right)!}},\,0 < \theta < 1}$$
$$\boxed{{{\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)}^n} = 1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right) + \dfrac{1}{{3!}}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right)\left( {1 - \dfrac{2}{n}} \right) + ... + \dfrac{1}{{n!}}\left( {1 - \dfrac{1}{n}} \right)\left( {1 - \dfrac{2}{n}} \right)...\left( {1 - \dfrac{{n - 1}}{n}} \right)}$$
Từ đó suy ra: $${x_n} < {y_n} \leqslant e$$
Mặt khác: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \dfrac{1}{n}} \right)^n} = e$. Theo nguyên lí kẹp suy ra $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {y_n} = e$
$$ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = e \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{1!}} + \dfrac{1}{{2!}} + \dfrac{1}{{3!}} + ... + \dfrac{1}{{n!}}} \right) = \boxed{e - 1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 19-12-2011 - 12:32





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh