4, Tìm tất cả $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:
$f(n)+f(n+1)=f(n+2).f(n+3)-16$ với $n\geq 1$
Đặt $Q\left( n \right)$ là biểu diễn: $$f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) - 16$$
Khi đó: $$Q\left( n \right) \Rightarrow f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) - 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$Q\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) + f\left( {n + 2} \right) = f\left( {n + 3} \right)f\left( {n + 4} \right) - 16\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Lấy $(2)-(1)$, ta được: $$f\left( {n + 2} \right) - f\left( n \right) = f\left( {n + 3} \right)\left( {f\left( {n + 4} \right) - f\left( {n + 2} \right)} \right)$$
Do $$f\left( n \right) \geqslant 1 \Rightarrow f\left( {n + 2} \right) = f\left( n \right)\,\,\,\,\forall n \geqslant 1$$
Suy ra $f$ tuần hoàn với chu kì 2. Giả sử $a,b,a,b,a,b,...$, khi đó:
$$a + b = ab - 16 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 17 \Rightarrow \left( {a,b} \right) \in \left\{ {\left( {2,18} \right),\left( {18,2} \right)} \right\}$$
Do đó, các hàm cần tìm thoả mãn bài toán là: $$f\left( n \right) = 2,18,2,18,2,18,...;f\left( n \right) = 18,2,18,2,18,2,...\,\,\,\forall n \geqslant 1$$