Đến nội dung

Hình ảnh

$f(f(n))=n+f(n),f(n)< f(n+1)$ CMR: $f(n+1)-f(n)\leq 2$

- - - - - lớp 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
le anh tu

le anh tu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
1, Cho hàm số $f: \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:
$f(f(n))=n+f(n)$ và $f(n)< f(n+1)$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$
CMR: $f(n+1)-f(n)\leq 2$
2, Cho $f,g:\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn:
i, $f(1)>0;g(1)>0$
ii, $f(g(n))=g(f(n))$
iii, $f(m^{2}+g(n))=f(m)^{2}+g(n)$
iiii, $g(m^{2}+f(n))=g(m)^{2}+f(n)$
CMR: $f(n)=g(n)=n$
3, Tìm tất $f:\mathbb{N}^{*} \to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:
$2f(m^{2}+n^{2})=f(m)^{2}+f(n)^{2}$
4, Tìm tất cả $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:
$f(n)+f(n+1)=f(n+2).f(n+3)-16$ với $n\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 15-02-2012 - 19:39


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

4, Tìm tất cả $f:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn:
$f(n)+f(n+1)=f(n+2).f(n+3)-16$ với $n\geq 1$


Đặt $Q\left( n \right)$ là biểu diễn: $$f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) - 16$$
Khi đó: $$Q\left( n \right) \Rightarrow f(n) + f(n + 1) = f(n + 2)f(n + 3) - 16\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$Q\left( {n + 1} \right) \Rightarrow f\left( {n + 1} \right) + f\left( {n + 2} \right) = f\left( {n + 3} \right)f\left( {n + 4} \right) - 16\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Lấy $(2)-(1)$, ta được: $$f\left( {n + 2} \right) - f\left( n \right) = f\left( {n + 3} \right)\left( {f\left( {n + 4} \right) - f\left( {n + 2} \right)} \right)$$
Do $$f\left( n \right) \geqslant 1 \Rightarrow f\left( {n + 2} \right) = f\left( n \right)\,\,\,\,\forall n \geqslant 1$$
Suy ra $f$ tuần hoàn với chu kì 2. Giả sử $a,b,a,b,a,b,...$, khi đó:
$$a + b = ab - 16 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 17 \Rightarrow \left( {a,b} \right) \in \left\{ {\left( {2,18} \right),\left( {18,2} \right)} \right\}$$
Do đó, các hàm cần tìm thoả mãn bài toán là: $$f\left( n \right) = 2,18,2,18,2,18,...;f\left( n \right) = 18,2,18,2,18,2,...\,\,\,\forall n \geqslant 1$$

#3
le anh tu

le anh tu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Suy ra $f$ tuần hoàn với chu kì 2. Giả sử $a,b,a,b,a,b,...$, khi đó:
$$a + b = ab - 16 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 17 \Rightarrow \left( {a,b} \right) \in \left\{ {\left( {2,18} \right),\left( {18,2} \right)} \right\}$$
Do đó, các hàm cần tìm thoả mãn bài toán là: $$f\left( n \right) = 2,18,2,18,2,18,...;f\left( n \right) = 18,2,18,2,18,2,...\,\,\,\forall n \geqslant 1$$

e chưa được học cái này.a có thể nói rõ hơn được ko ạ?

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

e chưa được học cái này.a có thể nói rõ hơn được ko ạ?


Do hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên cứ theo trình tự: sau 2 giá trị của $f$ thì lặp lại giá trị đó.

Tức $$f\left( n \right) = f\left( {n + 2} \right) = f\left( {n + 4} \right) = f\left( {n + 6} \right) = ... = f\left( {n + 2i} \right)$$
và $$f\left( {n + 1} \right) = f\left( {n + 3} \right) = f\left( {n + 5} \right) = ... = f\left( {n + 2i + 1} \right)$$
________________________________________

Bạn chú ý đặt lại tiêu đề. Xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 18-12-2011 - 01:28


#5
le anh tu

le anh tu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Do hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên cứ theo trình tự: sau 2 giá trị của $f$ thì lặp lại giá trị đó.

Tức $$f\left( n \right) = f\left( {n + 2} \right) = f\left( {n + 4} \right) = f\left( {n + 6} \right) = ... = f\left( {n + 2i} \right)$$
và $$f\left( {n + 1} \right) = f\left( {n + 3} \right) = f\left( {n + 5} \right) = ... = f\left( {n + 2i + 1} \right)$$
________________________________________

Bạn chú ý đặt lại tiêu đề. Xem

cảm ơn a!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le anh tu: 18-12-2011 - 02:11


#6
le anh tu

le anh tu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
mọi ng` giúp mình 3 câu trên đi

#7
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

mọi ng` giúp mình 3 câu trên đi


Bạn xem lại đề câu 3.

#8
Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết

Bạn xem lại đề câu 3.

Bài 3 qui nạp giống như kết quả kinh điển $f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2$
bài này có 2 nghiệm là $f(n)=n$ và $f(n)=1$

#9
cutesmile9x

cutesmile9x

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
Bài đầu có thể dùng sai phân nhưng nghiệm hơi lẻ

#10
Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết

Bài đầu có thể dùng sai phân nhưng nghiệm hơi lẻ


Sai phân không được sử dụng đâu nó không phải là hàm lien tục .Tuy nhiên có thể sử dụng hệ só bất định
@ KHM : Bạn trình bày cách quy nạp đi Mình nhớ bài này hình như là của Hàn Quốc năm nào đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Didier: 13-01-2012 - 14:07






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 10

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh