$x^{2}(y+z)^{2}=(3x^2+x+1)y^2z^2$
#1
Đã gửi 20-12-2011 - 18:11
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}(y+z)^{2}=(3x^2+x+1)y^2z^2 & \\ &y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 & \\ &z^2(x+y)^2=(5z^2+y+1)x^2y^2 & \end{matrix}\right.$
#2
Đã gửi 20-12-2011 - 18:19
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}(y+z)^{2}=(3x^2+x+1)y^2z^2 & \\ &y^2(z+x)^2=(4y^2+y+1)z^2x^2 & \\ &z^2(x+y)^2=(5z^2+y+1)x^2y^2 & \end{matrix}\right.$
Nhận thấy hệ có nghiệm $x = y = z = 0$.
Xét $x,y,z \ne 0$. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với
$\dfrac{{3{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{y + z}}{{yz}}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{yz}}\,\,(1)$
Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:
$4 + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{xz}}\,\,(2)\,\,\,;\,\,\,\,5 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}}\,\,(3)$
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:
${\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 12 = 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\,\,\,\,or\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = - 3$
Đến đây bạn giải tiếp ...
#3
Đã gửi 21-12-2011 - 21:32
hjhj anh giải lun hộ em với, em thử giải rùi nhưng nó tùm lum rắc rối quáNhận thấy hệ có nghiệm $x = y = z = 0$.
Xét $x,y,z \ne 0$. Khi đó phương trình thứ nhất tương đương với
$\dfrac{{3{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{{y + z}}{{yz}}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {\left( {\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{yz}}\,\,(1)$
Tương tự với hai phương trình còn lại của hệ, ta cũng có:
$4 + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} + \dfrac{2}{{xz}}\,\,(2)\,\,\,;\,\,\,\,5 + \dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{2}{{xy}}\,\,(3)$
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế rồi biến đổi ta được:
${\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)^2} - \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) - 12 = 0$
$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 4\,\,\,\,or\,\,\,\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = - 3$
Đến đây bạn giải tiếp ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh