Chủ đề này có 1 trả lời

[cvp]

CHo hình thang cân $ABCD$ $(AB\parallel CD; AB<CD)$. $M;N$ là trung điểm của $BD$ và $AC$. CMR:
a) tứ giác $AMNB$ và $DMNC$ là hình thang cân
b) $BM^{2}=AM^{2}+MN.AB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 20-12-2011 - 22:33

[perfectstrong]

Lời giải:
Các kết quả cần dùng:
\[\begin{array}{l}
A{M^2} = \dfrac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}}}{4} = \dfrac{{A{B^2} + A{D^2}}}{2} - B{M^2} \\
2MN = CD - AB \\
B{D^2} = B{A^2} + D{A^2} - AB.AD.2\cos BAD \\
\end{array}\]
Ta cần cm:
\[\begin{array}{l}
B{M^2} = A{M^2} + MN.AB \Leftrightarrow B{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{D^2}}}{2} - B{M^2} + MN.AB \\
\Leftrightarrow 4B{M^2} = A{B^2} + A{D^2} + 2MN.AB = A{B^2} + A{D^2} + \left( {CD - AB} \right)AB \\
\Leftrightarrow B{D^2} = A{D^2} + AB.CD \Leftrightarrow B{A^2} + D{A^2} - AB.AD.2\cos BAD = A{D^2} + AB.CD \\
\Leftrightarrow BA = AD.2\cos BAD + CD \Leftrightarrow \cos BAD = \dfrac{{BA - CD}}{{2AD}} = \dfrac{{MN}}{{AD}} \\
\end{array}\]
Dễ thấy đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm.