2 replies to this topic

[cvp]

Tìm tất cả các số nguyên $n$ để $n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n+7$ là số chính phương.

[Nguyễn Hưng]

Gợi ý:

Với $n$ không thỏa điều kiện $-3 \le n \le 2$, ta có bất đẳng thức sau
\[{\left( {{n^2} + n} \right)^2} < {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7 < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\]
Khi đó ${n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7$ bị kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp nên không thể là số chính phương.

Việc còn lại chỉ là xét các giá trị $n \in \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,1,2} \right\}$ xem ${n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7$ có chính phương hay không. Việc này giải quyết đơn giản.

Edited by Nguyễn Hưng, 21-12-2011 - 20:20.

[perfectstrong]

Gợi ý:

Với $-3 \le n \le 2$, ta có bất đẳng thức sau
\[{\left( {{n^2} + n} \right)^2} < {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7 < {\left( {{n^2} + n + 1} \right)^2}\]
Khi đó ${n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7$ bị kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp nên không thể là số chính phương.

Việc còn lại chỉ là xét các giá trị $n \in \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,1,2} \right\}$ xem ${n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} + n + 7$ có chính phương hay không. Việc này giải quyết đơn giản.

Chỗ chữ đỏ ấy, em thấy hình như phải ngược dấu lại mới đúng chứ anh. Cụ thể là \[n \not \in \left[ { - 3;2} \right]\]

Edited by perfectstrong, 21-12-2011 - 20:15.