Chủ đề này có 2 trả lời

[be3tvb1]

Cho các số thực a,b,c $\geq$ 1 thỏa a+b+c+2=abc.CMR:
$bc\sqrt{a^2-1}+ac\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}abc$

[Crystal]

Cho các số thực a,b,c $\geq$ 1 thỏa a+b+c+2=abc.CMR:
$bc\sqrt{a^2-1}+ac\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Đặt $t = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$. Từ giả thiết, áp dụng BĐT AM - GM ta có:
$$1 = \dfrac{2}{{abc}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}} \leqslant \dfrac{{2{t^3}}}{{27}} + \dfrac{{{t^3}}}{3} \Rightarrow t \geqslant \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,(*)$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$ab\sqrt {\left( {3c - 3} \right)\left( {c + 1} \right)} + bc\sqrt {\left( {3a - 3} \right)\left( {a + 1} \right)} + ca\sqrt {\left( {3b - 3} \right)\left( {b + 1} \right)} \leqslant \dfrac{9}{2}abc$$
Lại áp dụng AM - GM, ta có:
$$\sum {ab} \sqrt {\left( {3c - 3} \right)\left( {c + 1} \right)} \leqslant \sum {ab\left( {2c - 1} \right) = 6abc - \sum {ab \leqslant } } \dfrac{9}{2}abc$$
$$ \Leftrightarrow 2\sum {ab \geqslant 3abc \Leftrightarrow \sum {\dfrac{1}{c}} } \geqslant \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow t \geqslant \dfrac{3}{2}$$
Đúng với $(*)$. Từ đó ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 2$

[Nguyễn Hưng]

Đây là đề Olympic 30/4 lần thứ 15 - lớp 10

Bất đẳng thức đã cho tương đương
\[\sum {\dfrac{{\sqrt {{a^2} - 1} }}{a}} \le \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\]
Ta có

\[\begin{array}{l}
{\left( {\sum {\dfrac{{\sqrt {{a^2} - 1} }}{a}} } \right)^2} \le 3\left( {\sum {\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2}}}} } \right) = 3\left( {3 - \left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right)} \right) \\
\le 3\left( {3 - \left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right)} \right) = 3\left( {3 - \dfrac{{a + b + c}}{{abc}}} \right) \\
= 3\left( {3 - \dfrac{{abc - 2}}{{abc}}} \right) = 6\left( {1 + \dfrac{1}{{abc}}} \right) \le 6\left( {1 + \dfrac{1}{8}} \right) = \dfrac{{27}}{4} \\
\end{array}\]
Do $abc = a + b + c + 2 \ge 4\sqrt[4]{{2abc}} \Rightarrow abc \ge 8$.