Bài toán: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
4(xy+yz+zx) $\leq$ 9xyz +1
Lời giải.Không giảm tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z \Rightarrow \dfrac{1}{3} \leqslant x \leqslant 1$ , ta cos
4(xy+yz+zx) $\leq 9xyz + 1 \Leftrightarrow (9yz-4y-4z)x + 1 - 4yz \geq 0$
Xét hàm số f(x) = (9yz-4y-4z)x + 1 - 4yz trên [$\dfrac{1}{3}; 1]$, để ý rằng khi x = 1 thì y = z = 0, khi x =$\dfrac{1}{3}$ thì y = z =$\dfrac{1}{3}$. Ta có f(1) = 1; f($\dfrac{1}{3}$) = 0.
Do đó f(x) $\geq$ min{f(1);f($\dfrac{1}{3})$} = 0, dấu bằng xảy ra khi x = y = z = $\dfrac{1}{3}$
Theo mình thì f(x) chưa chắc là hàm bậc nhất nên không có được 'f(x) $\geq$ min{f(1);f($\dfrac{1}{3})$}'. Các bài toán trong phần này(có giả thiết x+y+z=1) đều sử dụng nhận xét rằng f(x) là hàm bậc nhất. Mong mọi người cho ý kiến
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 23-12-2011 - 14:42