Chủ đề này có 3 trả lời

[dark templar]

Bài toán:
Chứng minh phương trình:$$x^{x+1}=(x+1)^{x}$$ có 1 nghiệm thực duy nhất.

[Crystal]

Bài toán:
Chứng minh phương trình:$$x^{x+1}=(x+1)^{x}$$ có 1 nghiệm thực duy nhất.

Điều kiện: $x \ge 0$. Khi đó chia cả hai vế cho ${\left( {x + 1} \right)^x}$, ta được:
$$\dfrac{{{x^{x + 1}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^x}}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^{x + 1}}{\left( {x + 1} \right)^{ - x}} - 1 = 0,\,\forall x \ge 0$$
Ta có: $$f\left( 0 \right) = - 1;f\left( n \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right)f\left( n \right) < 0\,\,\,\left( {n \geqslant 3} \right)$$
Suy ra phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhấ một nghiệm ${x_0} \in \left[ {0;n} \right]\,\,\left( {n \geqslant 3} \right)$

Mặt khác: $f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left( {0;n} \right)$ nên $f\left( x \right)$ tăng trên $\left[ {0;n} \right]$. Từ đó nghiệm ${x_0}$ là nghiệm duy nhất.

[quoctruong1202]

DK: x>0 chứ nhỉ?

[Crystal]

DK: x>0 chứ nhỉ?

Cảm ơn bạn. Điều kiện là $x \ge 0$.