- $f(2x)=2f(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
- $f(f^2(x))=xf(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
- $f(x) \in \mathbb{N^*},\forall x \in \mathbb{N^*}$.
#1
Đã gửi 23-12-2011 - 22:01
- Nguyễn Hưng, namcpnh, cool hunter và 7 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 20-10-2012 - 08:31
Tập $\left \{ \frac{m}{2^n} | m ; n \in \mathbb{N^{*}} \right \}$ trù mật trên $ \mathbb{R^{+}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 20-10-2012 - 08:33
- Trần Đức Anh @@ yêu thích
#3
Đã gửi 23-10-2012 - 12:14
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 23/10 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
#4
Đã gửi 23-10-2012 - 14:28
Từ điều kiện 1 và 3, suy ra hàm số $f(x)$ làm hàm đa thức với hệ số nguyên.
Khi đó, $f(x)$ có dạng $f(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n+1}$. Bậc của $f(x)$ là $n$.
Suy ra, $Deg(f^2(x))=2n;Deg(f(f^2(x)))=2n^2$.
Từ điều kiện 2, suy ra $Deg(f(f^2(x)))=Deg(xf(x))$. Suy ra, $n=1$.
Suy ra, hàm số $f(x)=ax+b$.
Từ điều kiện 1, suy ra $b=0$.
Vậy các hàm số $f(x)$ có dạng là $f(x)=ax;\quad (a\in \mathbb{N}^*)$.
Từ điều kiện 2, suy ra $a=1$.
Vậy $f(x)=x.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 23-10-2012 - 14:46
- PSW yêu thích
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#5
Đã gửi 24-10-2012 - 20:26
Trước tiên từ 2 suy ra f đơn ánh và do f liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ nên f toàn ánh trên $\left ( 0,+\infty \right )$. Suy ra tồn tại $a\in (0.+\infty )$ sao cho $f(a)=1$. Thay a vào 2 ta có: $f(1)=a$. Thay $x=1$ vào 2 ta có: $f(a^2)=a$. Thay $x=a^2$ vào 2 ta có: $f(a^2)=a^3$. Suy ra $a=1$. Do f liên tục và đơn ánh nên f tăng hoặc giảm nhưng do 3 nên f tắng (Nếu f giảm thì cho $x\in N*$, x đủ lớn thì $f(x)$ không có giá trị xác định). Ta sẽ chứng minh$f(x)=x$, $x\in N^*$Bài toán: Xác định các hàm số liên tục $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn:
- $f(2x)=2f(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
- $f(f^2(x))=xf(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
- $f(x) \in \mathbb{N^*},\forall x \in \mathbb{N^*}$.
Thay $x=1$ vào 1 ta có: $f(2)=2$. Thay $x=2$ vào 1 ta có: $f(4)=4$. Do $f(3)$ nguyên và f đơn ánh nên $f(3)=3$.
Giả sử khẳng định đúng đến n. Tức là $f(n)=n$. Ta sẽ chứng minh: $f(n+1)=n+1$. Thật vậy:
$f(2n)=2n$ và vì f đơn ánh nên: $n=f(n)<f(n+1)<...<f(2n-1)<f(2n)=2n$ suy ra: $f(n+1)=n+1$
Như vậy $f(n)=n,n\in N*$
Ta có: $f(m)=2f(\frac{m}{2})=2^nf(\frac{m}{2^n})\Rightarrow \frac{m}{2^n}=f(\frac{m}{2^n})$
Mặt khác: $\frac{m}{2^n}$ trù mật trên $\left ( 0,+\infty \right )$ nên:
$x_0=lim\frac{m}{2^n}=limf(\frac{m}{2^n})=f(lim\frac{m}{2^n})=x_0$
Vậy $f(x)=x,x\in R^+$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FanquanA1: 24-10-2012 - 20:27
- perfectstrong, hxthanh, PSW và 2 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 24-10-2012 - 20:28
f(2x)=2f(x) (1)
f(f2(x)) = x.f(x) (2)
từ (2) ta có:
giả sử f(x) là hàm bậc 2 trở lên => x.f(x) sẽ có bậc 3 trở lên còn f2(x) có bậc chẵn trên 4
vì vậy hàm f(x) có bậc từ 2 trở lên là không hợp lí
=> f(x) có dạng f(x) = ax +b
(2) <=> a(ax + b)2 +b = x.(a.x +b)
<=> a3x + 2a2b + $\frac{b^{2}a + b}{x}$ = ax +b
(1) <=>ax + $\frac{b}{2}$ =ax + b
dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có
a=1;b=0 V a= 0; b=0 V a= - 1; b=0
=> hàm số cần tìm là f(x)=x hoặc f(x) =0 hoặc f(x) = -x
mà f(x)$\epsilon N$* $\forall x\epsilon N$*
nên f(x) =0 và f(x) = -x không thỏa
f(x)=x thỏa
vậy hàm số cần tìm là f(x)=x
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mekjpdoj: 24-10-2012 - 22:51
- PSW và Mai Duc Khai thích
#8
Đã gửi 28-10-2012 - 15:34
mình làm thử, sai mọi người sửa giúp , mới làm lần đầu mà
f(2x)=2f(x) (1)
f(f2(x)) = x.f(x) (2)
từ (2) ta có:
giả sử f(x) là hàm bậc 2 trở lên => x.f(x) sẽ có bậc 3 trở lên còn f2(x) có bậc chẵn trên 4
vì vậy hàm f(x) có bậc từ 2 trở lên là không hợp lí
=> f(x) có dạng f(x) = ax +b
(2) <=> a(ax + b)2 +b = x.(a.x +b)
<=> a3x + 2a2b + $\frac{b^{2}a + b}{x}$ = ax +b
(1) <=>ax + $\frac{b}{2}$ =ax + b
dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có
a=1;b=0 V a= 0; b=0 V a= - 1; b=0
=> hàm số cần tìm là f(x)=x hoặc f(x) =0 hoặc f(x) = -x
mà f(x)$\epsilon N$* $\forall x\epsilon N$*
nên f(x) =0 và f(x) = -x không thỏa
f(x)=x thỏa
vậy hàm số cần tìm là f(x)=x
Bài này, nó k cho $f(x)$ là hàm đa thức ngay từ đầu nên bạn không thể giả sử bậc của hàm $f(x)$ ngay được.
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#9
Đã gửi 29-10-2012 - 22:51
#10
Đã gửi 09-11-2012 - 21:23
Đoạn này chưa đúng nhé, một hàm đơn ánh và liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ thì chưa chưa chắc đã toàn ánh trên đó, có thể lấy hàm $f(x)=1+x^{2}$ là một phản ví dụ. Tuy nhiên việc tính $f(1)$ khá đơn giản, trong (2) chọ $x=1$ và sử dụng tính đơn ánh ta có $f(1)^{2}=1$, chú ý điều kiện (3) suy ra $f(1)=1$, phần còn lại thì ok rồi.Trước tiên từ 2 suy ra f đơn ánh và do f liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ nên f toàn ánh trên $\left ( 0,+\infty \right )$. Suy ra tồn tại $a\in (0.+\infty )$ sao cho $f(a)=1$.
- E. Galois và perfectstrong thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Tặng Hưng ^_^
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$$f(x)=\underset{y \in \mathbb{R}}{\max} \{2xy-f(y) \}$$Bắt đầu bởi dark templar, 25-02-2012 Tặng Hưng ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Iberoamerica 1998Bắt đầu bởi dark templar, 02-01-2012 Tặng Hưng ^_^ |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm $\lim\limits_{n \to +\infty}\left[\sum\limits_{k=1}^{n}f\left(\dfrac{k}{n^2} \right) \right]$Bắt đầu bởi dark templar, 23-12-2011 Tặng Hưng ^_^ |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh