$\left\{\begin{matrix} & 2x + x^2y = y & \\ & 2y + y^2z = z & \\ & 2z + z^2x = x & \end{matrix}\right.$
Nếu $x^2 = 1$ thì phương trình đầu ta được $\pm 2 = 0$ vô lí. Vậy $x^2 \ne 1$.
Tương tự ta cũng có $y^2 \ne 1\,\,;\,z^2 \ne 1$. Do đó
PT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2x}}{{1 - x^2 }} \\ z = \dfrac{{2y}}{{1 - y^2 }} \\ x = \dfrac{{2z}}{{1 - z^2 }} \\\end{array} \right.$ (1)
Đặt $x = \tan t\,,\,t \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\backslash \left\{ { \pm \dfrac{\pi }{4}} \right\}$. Ta có
(1) $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{2\tan t}}{{1 - \tan ^2 t}} = \tan 2t \\ z = \dfrac{{2\tan 2t}}{{1 - \tan ^2 2t}} = \tan 4t \\ x = \dfrac{{2\tan 4t}}{{1 - \tan ^2 4t}} = \tan 8t \\ \end{array} \right.$ (2)
Từ $x = \tan t$ và (2) ta được
$$\tan 8t = \tan t \Leftrightarrow 8t = t + k\pi \,(k \in ) \Leftrightarrow t = \dfrac{{k\pi }}{7}.$$
Do $t \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\backslash \left\{ { \pm \dfrac{\pi }{4}} \right\}$ , nên ta được $k \in \overline { - 3...3} $.
Vậy hệ đã cho có bảy nghiệm: $\left\{ \begin{array}{l}x = \tan \dfrac{{k\pi }}{7} \\ y = \tan \dfrac{{2k\pi }}{7} \\ z = \tan \dfrac{{4k\pi }}{7} \\\end{array} \right.$ với $k \in \overline { - 3...3} $.