Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

bất đẳng thức tích phân hàm liên tục dãy số chuỗi số đa thức phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 24-12-2011 - 21:48

Mình lập topic này với mục đích kêu gọi các bạn - những ai có ý định tham gia Kỳ thi Olympic Toán sinh viên sẽ đưa ra những bài toán Giải tích để cùng thảo luận. Như tên của topic, mỗi ngày các bạn sẽ post một bài toán rồi chúng ta sẽ cùng trao đổi. Nếu bạn nào có đề thi OLP của các trường thì có thể chia sẻ cho mọi người nhé, càng nhiều càng tốt.

P/s: Không được spam, khi post nhớ đánh số thứ tự bài, nếu được trích thì dẫn cụ thể nhé.

Để khởi động, mình xin đưa ra bài toán sau.

Bài toán 1: [OLP SV KIEV] Cho dãy số thực $\left\{ {{x_n},n \ge 1} \right\}$ sao cho $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{x_k}} = a$.
Tính $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{1}{{{n^p}}}\sum\limits_{k = 1}^n {{k^{p - 1}}} {x_k}\,\,\,\,\,\,\,\left( {p > 1} \right)$$



____________________________________________________________

@phudinhgioihan:
Xin phép bạn WWW cho mình sửa tiêu đề topic để nó sống lại, việc tạo một topic mới mình thấy không khả thi khi box Toán cao cấp còn chưa phát triển.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 03-01-2013 - 23:30


#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 29-12-2011 - 12:42

Bài toán 2: Cho $f$ là một hàm liên tục và đơn ánh trên $(a,b)$. Chứng minh rằng $f$ là một hàm đơn điệu ngặt trên $(a,b)$.

P/s: Bài này đơn giản nên mọi người tham gia thảo luận nhé.

#3 Naix

Naix

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 30-12-2011 - 00:35

Bài toán 3: Cho hàm số $f(x)$ khả vi hai lần trên $R$ với $f''$ liên tục trên $[0,1]$ sao cho : $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=2 \displaystyle \int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{4}}f(x)dx$ Chứng minh rằng tồn tại $x_0$ thuộc $(0, 1)$ sao cho : $f''(x_0)=0$.


P/s : Bài này phải dùng Lagrange để giải nhưng mình chưa biết chọn hàm số phù hợp, mong các bạn thảo luận bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Naix: 30-12-2011 - 00:42


#4 fghost

fghost

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Đã gửi 05-01-2012 - 16:24

Bài 2:
Vài nhận xét:
1/ Hàm liên tục phải thõa mãn intermediate value property (tính chất "trung điểm", cụ thể nếu $f(a) < f(b)$ và $a < b$ thì f nhận mọi giá trị trong $(f(a), f(b))$, tức là với mọi c mà $f(a) < c < f(b)$ tồn tại $y\epsilon (a,b)$ sao cho $f(y)=c$).
2/ Hàm số đơn ánh 1-1 không thể đạt 2 giá trị bằng nhau.

Với nhận xét 2/ giả sử f không tăng hay giảm nghiêm ngặt, thì sẽ tồn tại 3 điểm $a <x<y<z<b$ sao cho $f(x)<f(y)>f(z)$ hay $f(x)>f(y)<f(z)$. Nếu $f(x)<f(y)>f(z)$ xảy ra, ta có vì f thõa mãn intermedidate value property nên f phải đạt mọi giá trị trong $(f(x), f(y))$ bằng $(x,y)$ và mọi giá trị trong $(f(z), f(y))$ bằng $(y,z)$, và hiển nhiên tồn tại một giá trị c nào đó mà $f(x)<c<f(y)$ và $f(z)<c<f(y)$ sẽ đượt đạt bởi 2 giá trị từ 2 đọan khác nhau $(x,y)$ và $(y,z)$ nên f sẽ không phải đơn ánh. Tương tự với trường hợp còn lại.

Bài giải "chấp nhận" hơi nhiều thứ quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fghost: 05-01-2012 - 16:28


#5 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 15-02-2012 - 21:53

Consider $F(x)=\dfrac{1}{x} \int_0^{x}f(t)dt$. We have $f(x)=(xF(x))'$ and
$\int_0^{1}f(x)dx=(xF(x))|_0^{1}=F(1)$
$2\int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{4}}f(x)dx=\dfrac{3}{2}F(\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}F(\dfrac{1}{4}) $.
Implies
$3F(\dfrac{3}{4} )-F(\dfrac{1}{4} )=2F(1)$
$\Leftrightarrow F(\dfrac{3}{4})-F(\dfrac{1}{4})=2(F(1)-F(\dfrac{3}{4}))$
So, there exist $\theta_{1}\in (\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4})$ and $\theta_{2}\in (\dfrac{3}{4},1)$ such that
$F'(\theta_1)\dfrac{1}{2}=2.F'(\theta_2)\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow F'(\theta_1)= F'(\theta_2)$
we have $\theta\in (\theta_1,\theta_2)$ such that $F''(\theta)=0$ or
$\dfrac{2}{\theta^3} \int_0^{\theta}f(t)dt-\dfrac{2}{\theta^2}f(\theta)+\dfrac{1}{\theta}f'(\theta)=0 $
Next, assignment $H(x)=2\int_0^{x}f(t)dt-2xf(x)+x^2f'(x)$
$\Rightarrow H(0)=0, H(\theta)=0$
$\exists x_0\in (0,\theta):H'(x_0)=0$
But $H'(x)=x^2f''(x)$
Final $f''(x_0)=0$

#6 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 16-02-2012 - 16:06

Exercise 4: Find all integrable function $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ such that
$f(x)\leq \int_0^x t^{2012}f(t)dt , \forall x \in [0,1]$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 07-01-2013 - 17:21


#7 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 08-03-2012 - 08:22

Bài 5: Giả sử $f: R\rightarrow R$ là một hàm khả vi thỏa: $f(x)+f'(x)<1 (\forall x\epsilon R)$ và $f(0)=0$
CMR: $f(1)\leq \frac{e-1}{e}$ và tìm một hàm để xảy ra đẳng thức.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 07-01-2013 - 17:21

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#8 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 08-03-2012 - 15:53

Bài toán 2: Cho $f$ là một hàm liên tục và đơn ánh trên $(a,b)$. Chứng minh rằng $f$ là một hàm đơn điệu ngặt trên $(a,b)$.

P/s: Bài này đơn giản nên mọi người tham gia thảo luận nhé.


chọn 2 số $x_1,x_2$ tùy ý sao cho : $a<x_1<x_2<b$. giả sử xáy ra $f(x_1)<f(x_2)$, ta chứng minh $f(x)$ đồng biến.
Giả suwe ngược lại tồn tại 2 điểm $\alpha,\beta$ sao cho $a<\alpha<\beta<b$ nhưng $f(\alpha)\geq f(\beta)$.
Do $f(x)$ đơn ánh nên $f(\alpha)>f(\beta)$.

Xét hàm:
$G(t)= f(x_1+ t(\alpha - x_1)) - f(x_2+ t(\beta-x_2))$ với $t \epsilon [0,1]$

Khi đó $G(t)$ liên tục trên $[0,1]$
$G(0)= f(x_1)-f(x_2)<0, G(1) = f(\alpha )- f(\beta)>0$

suy ra:
Tồn tại $t_0 \epsilon (0,1)$ để $G(t_0)=0$
$\Leftrightarrow f(x_1+t_0(\alpha -x_1)) = f(x_2 + t_0(\beta-x_2))$

Mặt khác $f(x)$ đơn ánh nên $x_1+t_0(\alpha - x_1) = x_2 + t_0(\beta - x_2)$
Biến đổi ta được

$x_1=x_2$, $\alpha=\beta$
Mâu thuẫn, vậy ta có ĐPCm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khacduongpro_165: 08-03-2012 - 15:59

"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#9 analysis90

analysis90

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:dong thap

Đã gửi 09-03-2012 - 08:25

Problem 5. Assign $g(x)=e^x[f(x)-1]+1$. We have $g'(x)=e^x[f(x)-1+f'(x)]<0$. So,
$e[f(1)-1]+1=g(1)<g(0)=0$
If $f(x)+f'(x)<1$ then there don't exist $f(x)$.

#10 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 07-01-2013 - 17:24

Tiếp tục chủ đề :ukliam2:

Bài 6: Cho $f:\left[0;1\right]\to\mathbb{R} $ là hàm có đạo hàm liên tục thỏa mãn
$\displaystyle\int_0^1f\left(x\right)dx= \displaystyle\int_0^1xf\left(x\right)dx$ .Chứng minh rằng tồn tại $c\in\left(0,1\right)$ sao cho $$f\left(c\right)=\displaystyle f'\left(c\right)\int_0^cf\left(x\right)dx$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#11 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 08-01-2013 - 14:23

Bài 6:
Ta làm theo các bước:
1.Xét hàm $G\left(x\right)=\int_0^x f\left(t\right)dt$, từ giả thiết và sử dụng tích phân từng phần ta được $\int_0^1 G\left(t\right)dt=0$ suy ra $\exists x_0\in\left(0;1\right):G\left(x_0\right)=0$
2Xét hàm $H\left(x\right)=G\left(x\right)e^{-f\left(x\right)}$ và sử dụng định lí Rolle.
Bài 7:Cho $f:\left[0;1\right]\to\mathbb{R}$ là hàm khả vi liên tục thoả mãn $f\left(0\right)=0,0<f'\left(x\right)\leq 1,\forall x\in\left[0;1\right]$.Chứng minh rằng:$$\left(\int_0^1 f\left(x\right)dx\right)^2\geq\int_0^1 \left(f\left(x\right)\right)^3dx$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ablrise: 08-01-2013 - 14:45


#12 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 08-01-2013 - 14:40

Bài 8: ( BDT E.Landau)

a) Cho $f:[a;b] \longrightarrow \mathbb{R} $ với $a,b$ là số thực sao cho $b-a \ge 2 $, $f$ khả vi cấp 2 và thỏa $|f(x)| \le 1 \;, |f''(x)| \le 1 $

Chứng minh: $$|f'(x) | \le 2 $$

b) Cho $f$ là hàm số thực khả vi cấp 2 sao cho $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| \le 1 \;\;, \sup_{x \in \mathbb{R}} |f''(x)| \le 1 $

Chứng minh : $$ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f'(x)| \le \sqrt{2} $$

Mạnh hơn nữa, thay giả thiết $\sup_{x \in \mathbb{R}} |f''(x)| \le 1$ bởi $\dfrac{|f'(x)-f'(y)|}{x-y} \le 1 \;, \forall x,y \in \mathbb{R} ,\; x>y$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#13 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 09-01-2013 - 18:42

Bài 9:

Cho $f: [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f$ liên tục trên $[0;1]$ . Chứng minh

$$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}=\frac{\pi}{2}f(0) $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-02-2013 - 20:23

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#14 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2936 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 10-01-2013 - 22:24

Bài 10: Cho $a \in \{1,2,...,9\}$, hãy tính: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}_{n}}{10^n}$$
Chọn đội tuyển ĐH Cần Thơ 2012
Bài 11: Cho $({a_n}) \subset R$ là dãy truy hồi xác định bởi công thức: $a_1=1, a_{n+1}=\frac{2+a_n}{1+a_n}, n \in N$
Chứng minh rằng dãy $({a_n})$ là dãy cauchy và tìm giới hạn của nó.
Chọn đội tuyển ĐH Cần Thơ 2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 12-01-2013 - 04:29

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#15 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 12-01-2013 - 20:58

Bài 10: Cho $a \in \{1,2,...,9\}$, hãy tính: $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}_{n}}{10^n}$$
Chọn đội tuyển ĐH Cần Thơ 2012
Bài 11: Cho $({a_n}) \subset R$ là dãy truy hồi xác định bởi công thức: $a_1=1, a_{n+1}=\frac{2+a_n}{1+a_n}, n \in N$
Chứng minh rằng dãy $({a_n})$ là dãy cauchy và tìm giới hạn của nó.
Chọn đội tuyển ĐH Cần Thơ 2012


Đề gì cho những 2 câu dãy số, ngon nhỉ :))

Bài 10:

$$a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}=a+(a+10a)+...+(a+10a+...+10^{n-1} a)$$
$$=a \sum_{i=0}^{n-1} (n-i)10^i=a\left[ n\sum_{i=0}^{n-1}10^i-10\sum_{i=1}^{n-1}i^{i-1} \right]$$

Xét $f(x)=\sum_{i=1}^{n-1} ix^{i-1} \;\;, x \in \mathbb{R}_+^*$

$$\int_0^x f(t) dt= \sum_{i=1}^{n-1}x^i=\dfrac{x^n-x}{x-1}$$
$$\Rightarrow f(x)=\dfrac{(n-1)x^n-nx^{n-1}+1}{(x-1)^2}$$
$$\Rightarrow f(10)=\dfrac{(n-1)10^n-n10^{n-1}+1}{81}$$

Do đó $$a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}=a \left[ n\dfrac{10^n-1}{9}-\dfrac{(n-1)10^{n+1}-n10^n+10}{81} \right]$$

$$=\dfrac{10^{n+1}-9n-10}{81}a$$

Suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{a+aa+...+\large\underbrace{aa\cdots a}_{n}}{10^n}=\lim_{n \to +\infty} \dfrac{10^{n+1}-9n-10}{81.10^n}a$$

$$=\dfrac{10}{81}a$$


Bài 11:

Xét $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1} \;\;, x \in \mathbb{R}, x \ge 1$

$$|f'(x)|=\dfrac{1}{(x+1)^2} \le \dfrac{1}{4} \;\; \forall x ge 1 $$

Do đó, theo định lý Lagrange, $\forall x>y \ge 1,\; \exists z \in (x;y) \;,\;|f(x)-f(y)|=|(x-y)||f'(z)| \le |x-y| \dfrac{1}{4}$

Dễ thấy $a_n>0 \;\;, \forall n \in \mathbb{N}^* $

$\Rightarrow a_{n+1}=1+\dfrac{1}{1+a_n} \ge 1 \;\;,\forall n \in \mathbb{N}^*$

Ta có: $$\forall n>2\;, \;|a_n-a_{n-1}|=|f(a_{n-1})-f(a_{n-2})| \le |a_{n-1}-a_{n-2}| \dfrac{1}{4}$$

$$\le...\le |a_2-a_1|\dfrac{1}{4^{n-2}}=\dfrac{1}{2.4^{n-2}}$$

Với $n, p$ là các số tự nhiên dương, ta có

$$|a_{n+p}-a_n| \le |a_{n+p}-a_{n+p-1}|+|a_{n+p-1}-a_{n+p-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|$$
$$\le \dfrac{1}{2.4^{n+p-2}}+\dfrac{1}{2.4^{n+p-3}}+...+\dfrac{1}{2.4^{n-1}} < \dfrac{p}{2.4^{n-1}} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$$

Do đó, $$\forall \epsilon>0 , \exists n_0>0 \;,p \ge 1 , \forall n>n_0 \;,|a_{n+p}-a_n|< \dfrac{p}{2.4^{n-1}}<\epsilon $$

Vậy $(a_n)_n$ là dãy Cauchy .

Do $(a_n)_n$ là dãy Cauchy nên hội tụ. Đặt $l=\lim_{n \to +\infty} a_n \ge 0$

Cho $n \to +\infty $, ta có $l=\dfrac{l+2}{l+1}$ $\Leftrightarrow l=\sqrt{2} $

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#16 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 17-01-2013 - 14:07

Bài 12:(olimpic sv Ngoại thương 2013): Cho hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ khả vi hai lần,$f\left(0\right)=2;f'\left(0\right)=-2;f\left(1\right)=1;f\left(x\right)\neq 0,\forall x\in\mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists c\in\left(0;1\right)$ sao cho $$f\left(c\right)f'\left(c\right)+f''\left(c\right)=0$$


Bài 13(olimpic sv Ngoại thương 2013): Tìm tất cả các hàm xác định và nghịch biến trong khoảng $\left(0;+\infty\right)$ thỏa mãn $$f\left(x+f\left(y\right)\right)=\dfrac{y}{xy+1},\forall x,y>0$$


Bài 14(olimpic sv Ngoại thương 2013) Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên $\left[1;2\right]$ thỏa mãn $\displaystyle\int_a^b f^2\left(x\right)dx \leq \dfrac{b^3-a^3}{3},\forall a,b\in\left[1;2\right],a\leq b$.Chứng minh rằng $$\displaystyle\int_1^2 f\left(x\right)dx\leq \dfrac{3}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 17-01-2013 - 18:45


#17 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 17-01-2013 - 16:06

Bài 12:(olimpic sv Ngoại thương 2013): Cho hàm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ khả vi hai lần,$f\left(0\right)=2;f'\left(0\right)=-2;f\left(1\right)=1;f\left(x\right)\neq 0,\forall x\in\mathbb{R}$.Chứng minh rằng $\exists c\in\left(0;1\right)$ sao cho $$f\left(c\right)f'\left(c\right)+f''\left(c\right)=0$$

Bài 12:

Xét hàm số $g(x)=\frac{f^{2}(x)}{2}+f'(x)$

Ta có $g(0)=0$

$g'(x)=f(x)f'(x)+f"(x)$ nên theo ĐLý Rolle thì cần chứng minh tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $g(x_0)=0$


Xét $h(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{f(x)}$

$h(0)=h(1)$ nên theo ĐLý Rolle có tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $h'(x_0)=0=\frac{g(x_0)}{f^2(x_0)}$ hay $g(x_0)=0$


Nên ta có ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-02-2013 - 11:40


#18 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 17-01-2013 - 17:39

Bài 13(olimpic sv Ngoại thương 2013): Tìm tất cả các hàm xác định và nghịch biến trong khoảng $\left(0;+\infty\right)$ thỏa mãn $$f\left(x+f\left(y\right)\right)=\dfrac{y}{xy+1},\forall x,y>0$$

Bài 13:

Cho $y=1; x\in (0;\infty) $ ta có:

\[f\left( {x + f\left( 1 \right)} \right) = \frac{1}{{1 + x}}\]

Cho $x\to +\infty$ ta có $f(x)\to 0$

Vì $f$ nghịch biến nên $f(1)>0$

Đặt $t = x + f\left( 1 \right)$

Ta có: \[ \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{1}{{1 + t - f\left( 1 \right)}} = \frac{1}{{t + a}}\]

Với: $a = 1 - f\left( 1 \right)$

Thử lại được $a=0$ vậy hàm số cần tìm là $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 03-02-2013 - 11:40


#19 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 17-01-2013 - 19:55

Bài 14(olimpic sv Ngoại thương 2013) Cho hàm số $f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên $\left[1;2\right]$ thỏa mãn $\displaystyle\int_a^b f^2\left(x\right)dx \leq \dfrac{b^3-a^3}{3},\forall a,b\in\left[1;2\right],a\leq b$.Chứng minh rằng $$\displaystyle\int_1^2 f\left(x\right)dx\leq \dfrac{3}{2}$$


Hôm nay tự dưng thông minh ra :))

Số $\dfrac{b^3-a^3}{3}$ gợi ý đến $\int_a^b x^2 dx$ , ta viết lại giả thiết

$$\int_a^b f^2(x)dx \le \int_a^b x^2dx $$
$$\Leftrightarrow \int_a^b ( f^2(x)-x^2) dx \le 0 \;\; , \forall 1 \le a<b \le 2 $$

Theo định lý giá trị trung bình tích phân, $$\forall \; 1\le a<b \le 2 \;\;, \exists c \in [a;b] \;, \; f^2( c )-c^2 \le 0$$

Hàm $h(x)=f^2(x)-x^2 $ liên tục trên $[1;2]$

Với mỗi $x_0 \in [1;2) $ , $\forall h >0 $ đủ nhỏ sao cho $x_0+h \in [1;2]$, theo trên, phải tồn tại $ x_h \in [x_0;x_0+h] \;, f^2(x_h)-x_h^2 \le 0$


Vì $f$ liên tục trên $[1;2]$ , cho $h \to 0 \Rightarrow x_h^2 \to x_0^2 \;, \; f^2(x_0+h) \to f^2(x_0)$

$$\Rightarrow f^2(x_0)-x_0^2 \le 0$$

Suy ra $$f^2(x) \le x^2 \;\; , \forall x \in [1;2) $$

Xét $x_0=2 $ , $\forall h>0 $ đủ nhỏ sao cho $2-h \in [1;2]$ , tồn tại $x_h \in [2-h;2] \;\;, f^2(x_h)-x_h^2 \le 0$

Cho $h \to 0$ ta nhận được $f^2(2)-4 \le 0$

Vậy $$\forall x \in [1;2] \;\;, f^2(x) \le x^2 $$

$$\Rightarrow f(x) \le |f(x)| \le x \;\;, \forall \; x \in [1;2] $$

$$\Rightarrow \int_1^2 f(x)dx \le \int_1^2 xdx=\dfrac{3}{2}$$

____________________________________________________________________________

P/s: Đề Olympic năm 2000 ^_^, nhưng đáp án sơ sài quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 17-01-2013 - 21:24

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#20 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 18-01-2013 - 14:17

Bài 13:

Cho $y=1; x\in R$ ta có:

\[f\left( {x + f\left( 1 \right)} \right) = \frac{1}{{1 + x}}\]

Đặt $t = x + f\left( 1 \right)$

Ta có: \[ \Rightarrow f\left( t \right) = \frac{1}{{1 + t - f\left( 1 \right)}} = \frac{1}{{t + a}}\]

Với: $a = 1 - f\left( 1 \right)$

Thử lại được $a=0$ vậy hàm số cần tìm là $f(x)=\dfrac{1}{x}$

Bài này bạn làm chưa sử dụng giả thiết hàm nghịch biến và khi đặt biến $t=x+f\left(1\right)$ thì miền giá trị của $t$ không phải là $\left(0,+\infty\right)$ nên theo mình lời giải chưa hoàn chỉnh.Bạn có thể bổ sung thêm không?

Tiếp tục là các bài toán olimpic sv Ngoại thương 2011:

Bài 15: Cho $\mathbb{I}$ là một khoảng trong $\mathbb{R}$ và $a,b\in \mathbb{I},a< b$.Hàm $f:\mathbb{I}\to\mathbb{R}$ khả vi trên $\mathbb{I}$.Giả sử $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0,f'\left(a\right)
>0,f'\left(b\right)>0$.Chứng minh rằng $\exists c_1,c_2,c_3\in\left(a;b\right),c_1<c_2<c_3$ sao cho $f\left(c_2\right)=0,f^{'}\left(c_1\right)=f^{'}\left(c_3\right)=0$

Bài 16: Cho $a\in\mathbb{R_{+}^{*}}$,hàm $f:\left[0,a\right]\to\mathbb{R}$ là ánh xạ thuộc lớp $\mathbb{C^{1}}$ sao cho $f^{'}\left(x\right)>0,\forall x\in\left[0,a\right]$ và $f\left(0\right)=0$

a)Chứng minh rằng $\forall x\in\left[0,a\right]$ thì $\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=xf\left(x\right)$
(ở đó $f^{-1}:\left[0,f\left(a\right)\right]\to\mathbb{R}$ là hàm ngược của $f$)

b)Từ đo suy ra $\forall \left(x,y\right)\in\left[0,a\right]$x$\left[0,f\left(a\right)\right],\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{y} f^{-1}\left(t\right)dt\geq xy$


Bài 17:Cho $f\left(x\right)=x^5+x+1$.Giải phương trình trên $\mathbb{R}$ :$f\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 18-01-2013 - 18:02






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh