Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

bất đẳng thức tích phân hàm liên tục dãy số chuỗi số đa thức phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#21 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-01-2013 - 19:53

Tiếp tục là các bài toán olimpic sv Ngoại thương 2011:

Bài 15: Cho $\mathbb{I}$ là một khoảng trong $\mathbb{R}$ và $a,b\in \mathbb{I},a< b$.Hàm $f:\mathbb{I}\to\mathbb{R}$ khả vi trên $\mathbb{I}$.Giả sử $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0,f'\left(a\right)
>0,f'\left(b\right)>0$.Chứng minh rằng $\exists c_1,c_2,c_3\in\left(a;b\right),c_1<c_2<c_3$ sao cho $f\left(c_2\right)=0,f^{'}\left(c_1\right)=f^{'}\left(c_3\right)=0$

Bài 16: Cho $a\in\mathbb{R_{+}^{*}}$,hàm $f:\left[0,a\right]\to\mathbb{R}$ là ánh xạ thuộc lớp $\mathbb{C^{1}}$ sao cho $f^{'}\left(x\right)>0,\forall x\in\left[0,a\right]$ và $f\left(0\right)=0$

a)Chứng minh rằng $\forall x\in\left[0,a\right]$ thì $\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=xf\left(x\right)$
(ở đó $f^{-1}:\left[0,f\left(a\right)\right]\to\mathbb{R}$ là hàm ngược của $f$)

b)Từ đo suy ra $\forall \left(x,y\right)\in\left[0,a\right]$x$\left[0,f\left(a\right)\right],\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{y} f^{-1}\left(t\right)dt\geq xy$


Bài 17:Cho $f\left(x\right)=x^5+x+1$.Giải phương trình trên $\mathbb{R}$ :$f\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$


Bài 15:

Ta có $$\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)>0$$

$$\Rightarrow \exists h_1>0\; \text{đủ nhỏ},a<a+h_1 < b \;,\; f(a+h_1)>f(a)$$
Vậy $\exists x_1 \in (a;b) \;, \; f(x_1)>0$

$$\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(b-h)-f(b)}{-h}=f'(b)>0$$

$$\Rightarrow \exists h_2>0\; \text{đủ nhỏ},\;a<a+h_2<b \;,\; f(b-h_2)<f(b)$$
Vậy $\exists x_2 \in (a;b) \;\;, f(x_2)<0$

Do đó $\exists c_2 \in (x_1;x_2) \;, f(c_2)=0$

Từ đây, theo đl Rolle suy ra $\exists c_1 \in (a;c_2) \;, f'(c_1)=0 $ , $\exists c_3 \in (c_2;b) \;, f'(c_3)=0$

Hiển nhiên có $c_1<c_2<c_3$

Vậy ta có đpcm.

Bài 16:

a) Do $f(x) \in C^1 \Rightarrow f^{-1}(x) \in C^1 \;, \forall x \in [0;1] $

Xét $\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt$

Đổi biến $u=f^{-1}(t)$ . Do $f'(x)>0$ nên $f(x)$ đồng biến trên $[0;a]$, do đó $f^{-1}(x)$ cũng đồng biến trên $[0;a]$

$t=0 \Rightarrow u=f^{-1}(0)=0 \;\;, t=f(x) \Rightarrow u=f^{-1}(f(x))=x$

$dt=f'(f^{-1}(t))du=f'(u)du$

Suy ra $$\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=\int_0^x uf'(u)du=\int_0^x tf'(t)dt$$

Vậy $$\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{f\left(x\right)} f^{-1}\left(t\right)dt=\int_0^x (f(t)+tf'(t))dt$$

$$=\int_0^x (tf(t))'dt=xf(x)$$

b)

Như câu a), ta có $f^{-1}(x) \ge 0\;\;, \forall x \in [0;1] $

$\forall y \in [0;f(a)] \;, \exists z \in [0;a] \;, y=f(z)$

Bất đẳng thức tương đương với

$$\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt \ge xf(z)$$

Nếu $z>x \ge 0 \Rightarrow f(z)>f(x)$

$$\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt=\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(x)} f^{-1}(t)dt+\int_{f(x)}^{f(z)} f^{-1}(t)dt$$

$$=xf(x)+\int_{f(x)}^{f(z)} f^{-1}(t)dt \ge xf(x)+\int_{f(x)}^{f(z)}x dt =xf(x)+x(f(z)-f(x))=xf(z)$$

Nếu $z \le x \le a \Rightarrow f(z)<f(x)$

$$\int_0^x f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt=\int_0^z f(t)dt+\int_0^{f(z)} f^{-1}(t)dt+\int_z^x f(t)dt$$

$$=zf(z)+\int_z^x f(t)dt \ge zf(z)+\int_z^x f(z)dt $$

$$\ge z(f(z)+f(z)(x-z)=xf(z)$$

Vậy ta luôn có $$\forall \left(x,y\right)\in\left[0,a\right] \times \left[0,f\left(a\right)\right],\;\int_0^{x} f\left(t\right)+\int_0^{y} f^{-1}\left(t\right)dt\geq xy$$

Bài 17:

Trước tiên, dễ thấy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ . $f'(x)=5x^4+1 >0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$ suy ra $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Suy ra $f(x)$ là song ánh, do đó tồn tại hàm ngược $f^{-1}(x)$

$$f(x)=f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f(x))=x$$

$$\Leftrightarrow (x^5+x+1)^5+x^5+2=0$$

Xét $g(x)=(x^5+x+1)^5+x^5+2 \;\;, x \in \mathbb{R}$

$$g'(x)=5(5x^4+1)(x^5+x+1)^4+5x^4 >0 \;\;, \forall x \in \mathbb{R} $$

Suy ra $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$,do đó $g(x)=0$ có không quá một nghiệm.

Dễ thấy $g(-1)=0$, suy ra $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g(x)=0$.

Thật ra dùng nhận xét mọi giao điểm của đồ thị $f$ và đồ thị $f^{-1}$ luôn nằm trên đường $f(x)=x$ cho lời giải đơn giản hơn nhiều.

P/s: Dễ hơn đề vòng 2 của BKHCM cùng năm đó.

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#22 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-01-2013 - 22:49

Mới lượm nhặt trên math.stackexchange
Bài 18:
Cho hàm số được định nghĩa

$$f(x)=\begin{cases} 0 \;\;, x \neq \mathbb{Q} \\ \dfrac{1}{q} \;\;, x \in \mathbb{Q}, \text{với}\; (p;q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_+^*, (p;q)=1, x=\dfrac{p}{q} \end{cases}$$

Chứng minh $f$ khả tích trên $[0;1]$ và $\int_0^1 f(x)dx=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-01-2013 - 12:56

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#23 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-01-2013 - 23:04

Bài 19: (thật ra tương tự câu 14)

Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $\forall x \in \mathbb{R} , \int_0^1 f(xt)dt=0$

Chứng minh $$f(x)=0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#24 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 19-01-2013 - 10:37

P/s: Dễ hơn đề vòng 2 của BKHCM cùng năm đó.

Bạn có thể post một số bài hay của BKHCM các năm và lời giải (nếu có) không ?

#25 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 20-01-2013 - 00:31

Bài này bạn làm chưa sử dụng giả thiết hàm nghịch biến và khi đặt biến $t=x+f\left(1\right)$ thì miền giá trị của $t$ không phải là $\left(0,+\infty\right)$ nên theo mình lời giải chưa hoàn chỉnh.Bạn có thể bổ sung thêm không?



Mình đã sửa lại rồi đó.

#26 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 21-01-2013 - 20:09

Bài 20:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R} $ , $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ , $f$ đơn điệu giảm và $g([a;b]) \subset [0;1]$ . Đặt $c=\int_a^b g(x) dx $

Chứng minh: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#27 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 21-01-2013 - 20:15

Bài 21:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f \in C^1([a;b])$ . Đặt $m=\min_{[a;b]} |f'| ; \; M=\max_{[a;b]} |f'|$

Chứng minh:

$$\dfrac{(b-a)^2m^2}{12} \le \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)dx -\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \right)^2 \le \dfrac{(b-a)^2M^2}{12}$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#28 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 22-01-2013 - 16:53

Bài 22: Chứng minh dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của nó:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} > 0;\,{x_1} > 0\\
{x_n} = \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 1}}}} + \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 2}}}}
\end{array} \right.\]

#29 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 24-01-2013 - 20:19

Bài 22: Chứng minh dãy số sau hội tụ và tìm giới hạn của nó:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} > 0;\,{x_1} > 0\\
{x_n} = \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 1}}}} + \sqrt[{2011}]{{{x_{n - 2}}}}
\end{array} \right.\]

xét dãy $a_{n+2}=2\sqrt[2011]{a_{n+1}}$
và $a_{0}=a_{1}=max(x_{0},x_{1},\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2})$

và $b_{n+2}=2\sqrt[2011]{b_{n+1}}$

$b_{0}=b_{1}=min(x_{0},x_{1},\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2})$

ta có : $b_{n}\leq x_{n} \leq a_{n}$ .
dãy $b_{n}$ tăng và hội tụ đên $\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2}$
dãy $a_{n}$ giảm ht và $\sqrt[\frac{2011}{2010}]{2}$
từ đó ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 25-01-2013 - 19:55

NGU
Hình đã gửi

#30 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 27-01-2013 - 02:06

Consider $F(x)=\dfrac{1}{x} \int_0^{x}f(t)dt$. We have $f(x)=(xF(x))'$ and
$\int_0^{1}f(x)dx=(xF(x))|_0^{1}=F(1)$
$2\int_{\dfrac{1}{4}}^{\dfrac{3}{4}}f(x)dx=\dfrac{3}{2}F(\dfrac{3}{4})-\dfrac{1}{2}F(\dfrac{1}{4}) $.
Implies
$3F(\dfrac{3}{4} )-F(\dfrac{1}{4} )=2F(1)$
$\Leftrightarrow F(\dfrac{3}{4})-F(\dfrac{1}{4})=2(F(1)-F(\dfrac{3}{4}))$
So, there exist $\theta_{1}\in (\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4})$ and $\theta_{2}\in (\dfrac{3}{4},1)$ such that
$F'(\theta_1)\dfrac{1}{2}=2.F'(\theta_2)\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow F'(\theta_1)= F'(\theta_2)$
we have $\theta\in (\theta_1,\theta_2)$ such that $F''(\theta)=0$ or
$\dfrac{2}{\theta^3} \int_0^{\theta}f(t)dt-\dfrac{2}{\theta^2}f(\theta)+\dfrac{1}{\theta}f'(\theta)=0 $
Next, assignment $H(x)=2\int_0^{x}f(t)dt-2xf(x)+x^2f'(x)$
$\Rightarrow H(0)=0, H(\theta)=0$
$\exists x_0\in (0,\theta):H'(x_0)=0$
But $H'(x)=x^2f''(x)$
Final $f''(x_0)=0$


Ngoài lời giải trên còn có ít nhất 3 cách chứng minh cho bài toán trên

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#31 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 27-01-2013 - 09:08

Bài này có lâu rồi nhưng thấy hay mình post cho mọi người trao đổi


Bài 23: Cho $P,Q$ là hai đa thức hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực thỏa mãn $P\left( {1 + x + Q(x) + {Q^2}(x)} \right) = Q\left( {1 + x + P(x) + {P^2}(x)} \right)$ với mọi $x \in R $. Chứng minh rằng $P \equiv Q$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangnamneu: 27-01-2013 - 09:09

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#32 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 27-01-2013 - 20:06

Chợt nhớ một bài sáng tác cách đây hai năm :D

Bài 24: Gọi $D$ là tập các hàm số liên tục từ $[0;1]$ vào $[0;1]$ .

Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $\forall f \in D , \exists x_0 \in [0;1]$ thỏa $nf(x_0)=(1-x_0) \left[ f(x_0)+f(1-x_0) \right] $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 27-01-2013 - 20:08

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#33 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 28-01-2013 - 19:48

Chợt nhớ một bài sáng tác cách đây hai năm :D

Bài 24: Gọi $D$ là tập các hàm số liên tục từ $[0;1]$ vào $[0;1]$ .

Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $\forall f \in D , \exists x_0 \in [0;1]$ thỏa $nf(x_0)=(1-x_0) \left[ f(x_0)+f(1-x_0) \right] $



Với mọi $f \in D$nên xét $f(x) = x$ để tồn tại ${x_0} \in \left[ {0,1} \right]$ sao cho $nf({x_0}) = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {f({x_0}) + f(1 - {x_0})} \right) \Rightarrow n{x_0} = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {{x_0} + 1 - {x_0}} \right) = 1 - {x_0}$
$\Rightarrow n = \frac{1}{{1 + {x_0}}} \in \left[ {\frac{1}{2},1} \right]$.
Nhưng do $n \in {N^*}$ nên $n = 1$.
Ta chứng minh với $n = 1$ thỏa mãn bài toán.
Thật vậy xét hàm số
$g(x) = xf(x) - \left( {1 - x} \right)f\left( {1 - x} \right)$ liên tục trên $\left[ {0,1} \right]$ ta có
$g(0) = - f(1)$ và $g(1) = f(1)$ suy ra $g(0)g(1) = - {\left( {f(1)} \right)^2} \le 0$ suy ra tồn tại ${x_0} \in \left[ {0,1} \right]$ sao cho $g({x_0}) = 0 \Rightarrow f({x_0}) = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {f({x_0}) + f\left( {1 - {x_0}} \right)} \right)$.

Bài toán được giải hoàn toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 30-01-2013 - 17:23

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#34 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 29-01-2013 - 14:40

Hai bài sau khá hay
Bài 25:Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn $$ f \left( f\left( x \right)\right)=xf\left(x\right), \forall x \in \mathbb{R} $$
Bài 26::Cho dãy số $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_0>0,x_1>0,x_{n+2}=\dfrac{2}{x_{n+1}+x_n},n\in\mathbb{N}$.Tìm $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} x_n$.
Hỏi thêm :Nếu thay số $2$ ở vế phải ở công thức xác định dãy $x_n$ thành $x_{n+2}=\dfrac{a}{x_{n+1}+x_n},a>0$ thì bài toán thay đổi thế nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ablrise: 29-01-2013 - 16:08


#35 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 29-01-2013 - 17:06

Bài 25:

http://diendantoanho...htxfleftxright/

#36 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 30-01-2013 - 09:26

Theo mình cách giải đấy chưa đúng.Bởi vì khi dùng dãy số để xác định dạng hàm $f(x)$ thì số $c$ không phải là hằng,nó là một hàm nào đó có biến là $x$.

#37 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 30-01-2013 - 09:45

Bài 9:

Cho $f: [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f$ liên tục trên $[0;1]$ . Chứng minh

$$\lim_{n \to 0} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}=\frac{\pi}{2}f(0) $$


Bài 20:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R} $ , $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ , $f$ đơn điệu giảm và $g([a;b]) \subset [0;1]$ . Đặt $c=\int_a^b g(x) dx $

Chứng minh: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$


Bài 21:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f \in C^1([a;b])$ . Đặt $m=\min_{[a;b]} |f'| ; \; M=\max_{[a;b]} |f'|$

Chứng minh:

$$\dfrac{(b-a)^2m^2}{12} \le \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)dx -\left( \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \right)^2 \le \dfrac{(b-a)^2M^2}{12}$$


Bạn có post lời giải các bài trên được không? Theo mình riêng bài 9 cần tính giới hạn khi $n\to+\infty$,bạn xem giúp.

#38 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 30-01-2013 - 13:04

Theo mình cách giải đấy chưa đúng.Bởi vì khi dùng dãy số để xác định dạng hàm $f(x)$ thì số $c$ không phải là hằng,nó là một hàm nào đó có biến là $x$.


Mình Thử lại được $c=0$ và có thể viết lại cái hàm đó là:


\[\left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}}\\
f\left( x \right) = {x^{\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}}
\end{array} \right.\]

#39 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 30-01-2013 - 13:25

Bài 9:

Ta có:

\[I_n = \int\limits_0^1 {\frac{{nf\left( x \right)dx}}{{1 + {n^2}{x^2}}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {\arctan nx} \right)} = \left. {f\left( x \right).\arctan nx} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} \]

\[{I_n} = f\left( 1 \right).\arctan n - \int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} \]

Theo định lý về giá trị trung bình của tích phân ta có:

Tồn tại $0<c<1$ sao cho:

\[\int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} = \arctan nc\int\limits_0^1 {f'(x)dx} = \arctan nc\left( {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right)\]

Khi đó:

\[{I_n} = f\left( 1 \right).\arctan n - \arctan nc\left( {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right)\]

Suy ra: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {I_n} = \frac{\pi }{2}f\left( 0 \right)\]

-------------------------------------------------------------------------------------

Anh Đạt chắc đánh nhầm thôi. :D

#40 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 30-01-2013 - 17:39

Bài 9:

Ta có:

\[I_n = \int\limits_0^1 {\frac{{nf\left( x \right)dx}}{{1 + {n^2}{x^2}}}} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)d\left( {\arctan nx} \right)} = \left. {f\left( x \right).\arctan nx} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\arctan nx.f'(x)dx} \]

-------------------------------------------------------------------------------------

Anh Đạt chắc đánh nhầm thôi. :D.


Gõ nhầm thiệt, đúng là $n \to +\infty$

@Việt: Bài giải tưởng chừng đúng nhưng lại sai từ dòng đầu tiên!

Lý do: Chỉ có giả thiết $f$ liên tục trên $[0;1]$ nên chưa chắc nó khả vi, do đó không thể đi bằng con đường qua $f'$ được. Hơn nữa, em xem lại định lý trung bình tích phân loại 2, điều kiện ở đây không thể sử dụng được, kể cả có tồn tại $f'$ hay không.

@ablrise: Ở quê tối muỗi quá nên chắc không post lời giải được, hẹn ngày mai vậy.

Tặng mọi người bài mới sáng tác lúc sáng:

Bài 27:

Cho $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục và giảm trên $[0;1]$. Chứng minh

$$f(x) \le \int_0^1 f(t)dt+\dfrac{1}{2} \int_0^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6}$$

Chặn trên bởi một đa thức ^^. Khó hơn tí, tìm trường hợp đẳng thức :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 30-01-2013 - 20:47

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh