Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

bất đẳng thức tích phân hàm liên tục dãy số chuỗi số đa thức phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#41 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 30-01-2013 - 22:42

Bài 28:Cho $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đặt $$f_1(x)=\int_0^xf(t)dt,...,f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)dt.$$ Chứng minh rằng $$f_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^nf(t)dt,n\ge 1$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#42 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 31-01-2013 - 17:49

Bài 20:

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R} $ , $f,g$ liên tục trên $[a;b]$ , $f$ đơn điệu giảm và $g([a;b]) \subset [0;1]$ . Đặt $c=\int_a^b g(x) dx $

Chứng minh: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$


Bất đẳng thức trên mang tên gọi Steffensen

Do $g([a;b]) \subset [0;1] $ nên $c=\int_a^b g(x) dx \in [0;b-a]$

Chứng minh bdt bên trái:

Ta có: $$\int_{b-c}^b f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx$$

$$\Leftrightarrow \int_a^b f(x)dx-\int_a^{b-c} f(x)dx \le \int_a^b f(x)g(x)dx $$

$$\Leftrightarrow \int_a^b f(x) (1-g(x))dx \le \int_a^{b-c} f(x)dx $$

Để ý rằng: $b-c=b-\int_a^b g(x)dx=a+\int_a^b dx-\int_a^b g(x)dx=a+\int_a^b (1-g(x))dx$

Vây bdt bên trái có dạng giống bdt bên phải, do đó ta chỉ cần chứng minh:

$$\int_a^b f(x)g(x)dx \le \int_a^{a+c} f(x)dx$$

Ta có: $$\int_a^{a+c} f(x)dx - \int_a^b f(x)g(x)dx $$
$$=\int_a^{a+c} f(x) (1-g(x))dx-\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx $$
$$\ge f(a+c) \int_a^{a+c} (1-g(x))dx-\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx $$

$$=f(a+c) \left(c-\int_a^{a+c} g(x)dx \right) -\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx $$

$$=f(a+c) \left( \int_a^b g(x)dx -\int_a^{a+c} g(x)dx\right) -\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx$$

$$=f(a+c)\int_{a+c}^bg(x)dx-\int_{a+c}^b f(x)g(x)dx$$

$$=\int_{a+c}^b g(x) \left(f(a+c)-f(x)\right)dx$$

$$\ge 0$$

Do $f(x) \le f(a+c) \;\;, \forall x \in [a+c;b] $

Vậy cả 2 bdt được cm.

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#43 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 01-02-2013 - 20:52

Bài 9:

Cho $f: [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}$ , $f$ liên tục trên $[0;1]$ . Chứng minh

$$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}=\frac{\pi}{2}f(0) $$


Theo yêu cầu của albrise.

Lâu quá không nhớ trong sách nó giải thế nào nữa, đành tự làm cách cùi bắp vậy.

Do $f$ liên tục trên $[0;1]$ do đó liên tục đều trên $[0;1]$, suy ra, với mỗi $\epsilon >0$ đủ nhỏ, tồn tại $\delta>0$ đủ nhỏ sao cho

$$ \forall x \in [0; \delta] ,\; |f(x)-f(0)| < \epsilon$$

Với $ x \in [\delta;1] $, đặt $M=\sup_{x \in [\delta;1]} |f(x)|$

$$ \left| \int_{\delta}^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} \right| \le \int_{\delta}^1 \left|\dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}\right|$$

$$\le M \int_{\delta}^1 \dfrac{ndx}{1+n^2x^2}=M (\arctan n -\arctan n\delta)$$

$$=M \arctan \dfrac{n(1-\delta)}{1+n^2\delta} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$$

Với $x \in [0;\delta]$

$$\left| \int_0^{\delta} \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} -\dfrac{\pi}{2}f(0) \right| $$

$$\le \int_0^{\delta} \dfrac{n\left|f(x)-f(0) \right|dx}{1+n^2x^2} +\left|\int_0^{\delta} \dfrac{nf(0)dx}{1+n^2x^2}-\dfrac{\pi}{2}f(0) \right|$$

$$\le \epsilon \arctan n\delta +\left| f(0)\arctan n\delta-\dfrac{\pi}{2} f(0) \right| $$

$$\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \dfrac{\pi}{2} \epsilon$$

Suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \left| \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} - \dfrac{\pi}{2} f(0) \right|$$

$$ \le \lim_{n \to +\infty} \left(\left| \int_0^{\delta}\dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2}-\dfrac{\pi}{2} f(0) \right|+\left|\int_{\delta}^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} \right| \right) \le \dfrac{\pi}{2} \epsilon $$

Suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \left| \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} - \dfrac{\pi}{2} f(0) \right| =0$$

hay $$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \dfrac{nf(x)dx}{1+n^2x^2} =\dfrac{\pi}{2} f(0) $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 01-02-2013 - 20:57

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#44 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 02-02-2013 - 13:16

Bài 28:Cho $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đặt $$f_1(x)=\int_0^xf(t)dt,...,f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)dt.$$ Chứng minh rằng $$f_{n+1}(x)=\frac{1}{n!}\int_0^x(x-t)^nf(t)dt,n\ge 1$$


Với chú ý:

$$ f_{n+1}(x)=\int_0^x \int_0^t f_n(u)du dt =\int_0^x \int_0^t f_n(u)du d(t-x)$$

$$=(t-x) \int_0^t f_n(u)du |_0^x -\int_0^x (t-x) f_n(t)dt =\int_0^x (x-t)f_n(t)dt $$

$$=\int_0^x (x-t) \int_0^t f_{n-1}(u)du dt =-\dfrac{1}{2} \int_0^x \int_0^t f_{n-1}(u)du d((x-t)^2)$$

$$=-\dfrac{1}{2} (x-t)^2 \int_0^t f_{n-1}(u)du |_0^x +\dfrac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2f_{n-1}(t)dt$$

$$=\dfrac{1}{2} \int_0^x (x-t)^2f_{n-1}(t)dt $$

Tương tự, sử dụng liên tiếp tích phân từng phần ta được

$$f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{n!} \int_0^x (x-t)^n f(t)dt$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#45 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 02-02-2013 - 15:07

Bài 29:

Cho $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ (với $[a;b] \subset \mathbb{R}$) không là hàm tuyến tính và có đạo hàm cấp hai trên $(a;b)$. Chứng minh $f(x)=0$ vô nghiệm trên $(a;b)$ nếu tồn tại $c \in (a;b)$ sao cho

$$ f'^2( c ) -2f ( c)f''(x) <0 \;\;, \forall x \in (a;b)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-03-2013 - 01:51

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#46 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 04-02-2013 - 15:48

Thanks bạn phudinhgioihan bởi 2 lời giải bài 9 và bài 20.Còn bài 21 nữa, bạn post giúp mình lời giải bài này với.
Về lời giải bài 9, cách tách cận tích phân và sử dụng đánh giá như của bạn thì có thể áp dụng cho nhiều bài có dạng tương tự.

.

#47 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 04-02-2013 - 21:47

Bài 30:

Cho $a \in \mathbb{R}_+$, hàm $f:[0;a] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $f(0)=0$ chứng minh

$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{2} \int_0^a f'^2(x)dx$$

Nếu giả thiết $f(0)=f(a)$, chứng minh

$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{4} \int_0^a f'^2(x)dx$$

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#48 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-02-2013 - 23:16

Bài 30:

Cho $a \in \mathbb{R}_+$, hàm $f:[0;a] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $f(0)=0$ chứng minh

$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{2} \int_0^a f'^2(x)dx$$

Nếu giả thiết $f(0)=f(a)$, chứng minh

$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \dfrac{a}{4} \int_0^a f'^2(x)dx$$


Quen nhề :-"

Ta có:

$$\int_0^a |f'(x)f(x)|dx =\int_0^a |f'(x)| \left| \int_0^x f'(t)dt \right| dx $$

$$ \le \int_0^a |f'(x)| \int_0^x |f'(t)|dt dx $$

$$\le \int_0^a |f'(x)| \sqrt{\int_0^x dt \int_0^x f'^2(t)dt } dx $$

$$ \le \int_0^a \sqrt{x} |f'(x)| \sqrt{\int_0^x f'^2(t)dt}dx $$

$$\le \sqrt{\int_0^a xdx \int_0^a f'^2(x) \int_0^x f'^2(t)dt dx}$$

$$\le \sqrt{\frac{a^2}{4} \left[\left(\int_0^x f'^2(t)dt \right)^2 \right]' dx}$$

$$\le \dfrac{a}{2} \int_0^a f'^2(x)dx$$
Câu dưới tương tự :P
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#49 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 05-02-2013 - 07:17

Quen nhề :-"

Câu dưới tương tự :P


Hai bdt này đã có từ tận 1930!
Mục đích đưa ra là để cải tiến chứng minh đơn giản tí, lời giải cũ khủng quá @@
$$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx \le \int_0^a |f'(x)| \int_0^x |f'(t)|dt dx $$
$$ \le \int_0^a \int_0^x |f'(t)|dt d\left(\int_0^x |f'(t)|dt \right)$$
$$\le \frac{1}{2} \left(\int_0^a |f'(x)|dx \right)^2 \le \frac{1}{2} \int_0^a dx \int_0^a f'^2(x)dx$$
$$\le \frac{1}{2} \int_0^a f'^2(x)dx $$
Bất đẳng thức thứ hai:
Ta có: $$\int_0^a |f(x)f'(x)|dx=\int_0^{\frac{a}{2}} |f(x)f'(x)|dx+\int_{\frac{a}{2}}^a |f(x)f'(x)|dx$$
** $\int_0^{\frac{a}{2}} |f(x)f'(x)|dx \le \frac{a}{4} \int_0^{\frac{a}{2}}f'^2(x)dx $
** Đặt $g(a-x)=f(x)$ , dễ thấy $g$ có các tính chất của $f$, do đó
$$\int_0^{\frac{a}{2}} |g(x)g'(x)|dx \le\frac{a}{4} \int_0^{\frac{a}{2}} g'^2(x)dx $$
$$\Leftrightarrow \int_0^{\frac{a}{2}} |f(a-x)f'(a-x)|dx \le \frac{a}{4} \int_0^{\frac{a}{2}} f'^2(a-x)dx $$
$$\Leftrightarrow \int_{\frac{a}{2}}^a |f(x)f'(x)|dx \le \frac{a}{4} \int_{\frac{a}{2}}^a f'^2(x)dx $$
Cộng hai bdt lại ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 05-02-2013 - 07:19

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#50 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 05-02-2013 - 19:59

Bài 31: (mới chế :D)

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ có đạo hàm cấp 2 liên tục sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0\;, f''(x) \ge 0 \;\forall x \in [a;b]$

Chứng minh tồn tại $c \in [a;b] $ sao cho $\dfrac{(b-a)^3}{6} f''( c ) \ge \int_a^b f(x)dx \ge \dfrac{(b-a)^3}{24}f''( c )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-02-2013 - 18:56

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#51 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 05-02-2013 - 20:05

Bài 32: (mới chế :D)

Cho $f:[0;2] \to [0;\dfrac{1}{2} ]$ đơn điệu tăng và có đạo hàm cấp 2 liên tục trên $[0;2]$ đồng thời $f'(0).f'(1)=1$. Chứng minh tồn tại $c \in [0;2]$ sao cho

$$f''( c) \ge 3 \int_0^2 f(x)dx $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 05-02-2013 - 20:06

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#52 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 06-02-2013 - 19:25

Bài 33: (mới chế :D)

Sao có cảm giác thân quen @@

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$ , $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ , $f \in C^2([a;b])$ sao cho $f(a)=f(b)$. Đặt $M=\max_{[a;b]} f''(x)\;, m=\min_{[a;b]} f''(x)$

Giả sử tồn tại $0<h<b-a$ sao cho $f(a+h)=f(b-h)$, chứng minh:

$$\left| f'(a)+f'(b) \right| \le \dfrac{M-m}{2}h$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 24-03-2013 - 00:58

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#53 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 06-02-2013 - 20:29

Bài 34: (B.Jacobson)
Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}\;\;, f:[a;b] \to \mathbb{R}$ khả vi $n \in \mathbb{N^*}$ lần trên $[a;b]$ sao cho $\lim_{x \to a^+} f^{(k)}(x)=0\;, \forall k \in \{1;...;n-1\}$ và $\lim_{x \to a^+} f^{(n)}(x) \neq 0$. Theo định lý trung bình tích phân, với $x \in (a;b] , \exists c_x \in (a;x) \;, \int_a^x f(t)dt=f(c_x)(x-a)$. Chứng minh

$$\lim_{x \to a^+} \dfrac{c_x-a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-02-2013 - 20:30

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#54 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 09-02-2013 - 23:15

Bài 31: (mới chế :D)

Cho $[a;b] \subset \mathbb{R}$, $f:[a;b] \to \mathbb{R}$ có đạo hàm cấp 2 liên tục sao cho $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0\;, f''(x) \ge 0 \;\forall x \in [a;b]$

Chứng minh tồn tại $c \in [a;b] $ sao cho $\dfrac{(b-a)^3}{6} f''( c ) \ge \int_a^b f(x)dx \ge \dfrac{(b-a)^3}{24}f''( c )$


Mình nghĩ bất đẳng thức vế trái phải là một số $d$ khác chứ không phải là $c$

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#55 ablrise

ablrise

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 17 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:I like

Đã gửi 17-02-2013 - 11:00

Một bài có nhiều ứng dụng trong tính giới hạn liên quan đến tích phân ;
Bài 35:Cho hàm $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ liên tục trên miền xác định với $0\leq a<b$ và cho hàm $g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục ,tuần hoàn với chu kì $T$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f(x)g(nx)dx =\dfrac{1}{T}\int_0^T g(x) \int_a^b f(x)dx$$
Một bài khác:
Bài 36:Cho hàm $f:[1+\infty)\to\mathbb{R}$ liên tục ,thoả mãn tồn tại giới hạn hữu hạn $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} xf(x)$
Chứng minh tồn tại giới hạn $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} \dfrac{f\left(x\right)}{x}dx $ và $$ \displaystyle\lim_{n\to +\infty} n\int_{1}^{a}f\left(x^{n}\right)dx=\lim_{t\to +\infty}\int_1^t \dfrac{f\left(x\right)}{x}dx $$ với $a>1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ablrise: 17-02-2013 - 11:34


#56 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 18-02-2013 - 19:49

Mình nghĩ bất đẳng thức vế trái phải là một số $d$ khác chứ không phải là $c$


Bài toán nêu trên đúng chứ không sai đâu ạ, cả hai vế đều là $c$.

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#57 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 19-02-2013 - 22:38

Bài 37:

Phát biểu vấn đề giống bài 34 :D

Cho $f$ xác định và khả vi vô hạn lần trên $(-1;1)$ sao cho $\forall k \in \mathbb{N}^*, \; f^{(k)}(0) \neq 0$. Theo ông Taylor, với $0<|x|<1$ và $n \in \mathbb{N}^*$

$f(x)=f(0)+xf'(0)+...+\dfrac{x^{n-1}f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}+\dfrac{x^nf^{(n)}(\theta_x x)}{n!} \;, 0<\theta_x<1 $

Tính $\lim_{x \to 0} \theta_x $

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#58 phudinhgioihan

phudinhgioihan

    PĐGH$\Leftrightarrow$TDST

  • Biên tập viên
  • 348 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 23-02-2013 - 22:35

Tặng mọi người bài mới sáng tác lúc sáng:

Bài 27:

Cho $f: [0;1] \to \mathbb{R}$ khả vi liên tục và giảm trên $[0;1]$. Chứng minh

$$f(x) \le \int_0^1 f(t)dt+\dfrac{1}{2} \int_0^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6}$$

Chặn trên bởi một đa thức ^^. Khó hơn tí, tìm trường hợp đẳng thức :D


Mục đích chính là mình muốn đưa ra đẳng thức rất đẹp sau

$$(b-a)f(x)=\int_a^b f(x)dx+\int_a^x (t-a)f'(t)dt+\int_x^b (t-b)f'(t)dt$$

Do đó ta có $$f(x)=\int_0^1 f(x)dx+\int_0^x tf'(t)dt+\int_x^1 (t-1)f'(t)dt$$

$$ \le \int_0^1 f(x)dx+\int_0^x tf'(t)dt +\sqrt{\int_x^1 (t-1)^2dt \int_x^1 f'^2( t)dt} $$

$$\le \int_0^1 f(x)dx+\int_0^x tf'(t)dt+\dfrac{1}{2}\int_x^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6}$$

$$\le \int_0^1 f(t)dt+\dfrac{1}{2} \int_0^1 f'^2(t)dt+\dfrac{(1-x)^3}{6} $$

Do $f'(t) \le 0 \;, \forall t \in [0;1]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 06-03-2013 - 19:16

Phủ định của giới hạn Hình đã gửi

Đó duy sáng tạo ! Hình đã gửi


https://phudinhgioihan.wordpress.com/

#59 anktqd

anktqd

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đã gửi 24-02-2013 - 00:22

Mọi người thử bài này nhé, mình tìm được trên Mathlinks, giải mấy ngày rồi chưa ra cũng không tìm được phản ví dụ :(
Bài 38. Cho hàm số $f$ liên tục trên $[0, 1]$ thỏa mãn $\int\limits_0^1f(x)dx=0.$ Chứng minh tồn tại $a \in (0, 1)$ sao cho$$a^2f(a)=\int\limits_0^a(x+x^2)f(x)dx$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anktqd: 24-02-2013 - 00:31


#60 babymath

babymath

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:where you come

Đã gửi 24-02-2013 - 23:55

Bài 39:Cho hàm $f:[0;1]\to\mathbb{R}$ liên tục thỏa mãn $\int_0^1 xf(x)dx=0$.Chứng minh rằng tồn tại $a\in[0;1]$ sao cho $$f(a)=a\displaystyle \int_a^1 f(x)dx$$
Bài 40:(DHSP HCM 2011)::Cho hàm $f$ khả vi liên tục trên $[a;b]$.Chứng minh rằng:$$\displaystyle\max_{x\in [a,b]}|f(x)|\leq \dfrac{1}{2}\left[|f\left(a\right)+f\left(b\right)|+\int_a^b |f'\left(x\right)|dx\right]$$
Bài 41:Cho $f$ là hàm khả vi liên tục trên $[a;b]$ sao cho $\int_0^1 f(x)dx=0$.Chứng minh rằng $$\left|\displaystyle\int_0^1 xf(x)dx\right|\leq\dfrac{1}{12}\displaystyle\max_{x\in [0;1]} |f'(x)|$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babymath: 25-02-2013 - 00:03






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh