Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

bất đẳng thức tích phân hàm liên tục dãy số chuỗi số đa thức phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#121 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 14-01-2014 - 01:47

Em góp vui bài :D

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $[a, b].$ Chứng minh tồn tại $x_0 \in (a, b)$ sao cho \[\frac{1}{x_0-a}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\right)+\frac{1}{x_0-b}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b}\right)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\]

kHÁ LÀ đẹp mắt nhưng a chưa nghĩ ra :D


Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#122 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 15-01-2014 - 07:54



Em góp vui bài :D

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $[a, b].$ Chứng minh tồn tại $x_0 \in (a, b)$ sao cho \[\frac{1}{x_0-a}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\right)+\frac{1}{x_0-b}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b}\right)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\]

xét hàm F(x) được xác định như sau

$F(X)=\left\{\begin{matrix}f'(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b} & x=a \\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(x)-f(b)}{x-b} &x\in (a,b) \\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f'(b) & x=b \end{matrix}\right. $

 
F(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) nên tồn tại $x_0$ thuộc khoảng (a,b) thoã mãn 
$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(x_0)$ ( dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 15-01-2014 - 07:56

NGU
Hình đã gửi

#123 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 17-01-2014 - 12:21



Các bạn trao đổi về đề Cấp trường của Kinh tế quốc dân năm 2014

Câu 1: Cho dãy số $\left\{ {{a_n}} \right\}$xác định bởi ${a_1} = \frac{1}{2},{a_n} = \frac{{a_n^2}}{{a_n^2 - {a_n} + 1}},\forall n = 1,2,...$

a)      Chứng minh rằng dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}$có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b)      Đặt ${b_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$. Tìm phần nguyên của ${b_n}$và tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {b_n}$.     

 

làm nốt bài này nữa là topnic hết bài ^^.

dễ thấy $a_n > 0 $ với mọi n , ta có : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n +1}\leq \frac{a_n^2}{a_n}=a_n$ vậy dãy số trên hội tụ . dễ chỉ ra $a_n$ hội tụ đến 0.

b) ta có : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n +1}\Leftrightarrow a_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1}-\frac{a_{n}}{a_{n}-1}$

$b_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1}-\frac{a_{1}}{a_{1}-1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1} +1$ vậy  $b_n\rightarrow 1$

hơn nữa với n>1 thì ta có $0<a_n<  \frac{1}{2}\Rightarrow -1<\frac{a_n}{a_n-1}<0$ nên  $[b_n] = 0 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 17-01-2014 - 12:22

NGU
Hình đã gửi

#124 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 19-01-2014 - 14:14

 

xét hàm F(x) được xác định như sau

$F(X)=\left\{\begin{matrix}f'(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b} & x=a \\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(x)-f(b)}{x-b} &x\in (a,b) \\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f'(b) & x=b \end{matrix}\right. $

 
F(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) nên tồn tại $x_0$ thuộc khoảng (a,b) thoã mãn 
$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(x_0)$ ( dpcm)

 

Bắt nguồn từ Flets :D


Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#125 duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy NHơn

Đã gửi 19-01-2014 - 17:44

Bắt nguồn từ Flets :D

??????????????????????????


NGU
Hình đã gửi

#126 dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Thọ
  • Sở thích:Giải toán, xem phim và viết lách

Đã gửi 21-01-2014 - 00:43

Thêm bài mới trích từ đề Olympic Toán SV ĐH FPT năm 2014

Các câu khá là cũ lấy từ các sách ra.

Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ 

Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số

$${{a}_{1}}=\dfrac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$$

với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình

$2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$

có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.

Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và ${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn 
a) $$({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$$ với mọi $n\ge 1.$
b) Các chuỗi $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$$ và $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$$ cũng hội tụ.


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-03-2014 - 13:03

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#127 Mr Right

Mr Right

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh
  • Sở thích:Maths, Đọc sách

Đã gửi 02-03-2014 - 00:20

Bài 1. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: $ f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $ với $ n\geq2 $. Chứng minh rằng tồn tại $ \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} $ và tìm giới hạn đó.

Bài 2. Cho hàm số f dương và liên tục trên đoạn $ [0;1] $. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $ n $ tồn tại $ \theta(n) $ sao cho: $ \dfrac{1}{n}.\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{\theta(n)}f(x)dx+\displaystyle \int_{1-\theta(n)}^{1}f(x)dx $. Tính $ \lim\limits_{x\to \infty} (n.\theta(n)) $

Bài 3. Cho dãy $ (x_{n}) $ thỏa mãn $ \lim\limits_{x\to \infty} (2008x_{n+1}-2007x_{n})=1 $. Chứng minh rằng dãy $ (x_{n}) $ hội tụ và $ \lim\limits_{x\to \infty}x_{n}=1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-03-2014 - 13:02

Love Makes Me Stronger


#128 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-03-2014 - 13:23

Bài 1. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: $ f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $ với $ n\geq2 $. Chứng minh rằng tồn tại $ \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} $ và tìm giới hạn đó.

Câu này yêu cầu đề có thiếu gì không nhỉ :-/

Áp dụng công thức Binet ta có

$$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{f_{n+1}}{f_n}=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2} )^{n+1}}{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}  )^{n}} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#129 Mr Right

Mr Right

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bắc Ninh
  • Sở thích:Maths, Đọc sách

Đã gửi 03-03-2014 - 16:29

Bài 4. Với giá trị nào của $ a>1 $ thì tích phân $ I(a)=\displaystyle\int_{a}^{a^{2}}\dfrac{1}{x}ln\dfrac{x-1}{32}dx $ đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5. Cho hàm $ f $ xác định và liên tục trên đoạn $ [a,b] $ và có $ f^{'}, f^{"} $ liên tục trên khoảng $ (a,b), f(a)=f(b)=0 $. Chứng minh rằng: với $ \forall x\in(a,b), \exists z(x)\in(a,b) $ để $ f(x)=\dfrac{(x-a)(x-b)}{2}.f^{"}(z(x)) $
Bài 6. Cho dãy số $ x_{n} $ được xác định như sau: $ x_{1}=\dfrac{1}{3}, x_{2n}=\dfrac{1}{3}x_{2n-1}, x_{2n+1}=\dfrac{1}{3}+x_{2n}, n=1,2,\cdots $. Tìm $ \lim\limits_{x \to \infty} sup x_{n}, \lim\limits_{x \to \infty} inf x_{n}? $
Bài 7. Nếu hàm số $ f:(0,1)\rightarrow[0,1] $ là một song ánh thì $ f $ có thể liên tục được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Right: 03-03-2014 - 16:32

Love Makes Me Stronger


#130 ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:nơi nào đó
  • Sở thích:Manga, Anime, Volleyball,...

Đã gửi 14-03-2014 - 09:50

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#131 KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nữa vòng trái đất
  • Sở thích:học toán, đi lang thang, ăn tối với một người bạn...

Đã gửi 27-08-2014 - 11:51

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).

 

Có lẻ em suy nghĩ chưa kỹ rồi. Hai khoảng $(0,1)$, $[0,1]$ nên được nhìn nhận là hai ko gian riêng lẻ, chứ ko phải là hai tập con của $\mathbb{R}$. 

 

Lời giải như sau: giả sử $f: (0,1)\to [0,1]$ là liên tục. Gọi $g=f^{-1}$, hàm ngược của f. Thì $g$ liên tục (hãy chứng minh nó nếu các bạn có hứng). Ta có 

$g:[0,1]\to (0,1)$ là liên tục. Nhưng điều này vô lý vì $[0,1]$ là ko gian compact, trong khi $(0,1)$ ko phải compact (vô lý vì ta có tính chất rằng ảnh của một ko gian compact qua một hàm liên tục là compact).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 27-08-2014 - 12:05

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#132 quangbinng

quangbinng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Đã gửi 31-01-2015 - 10:13

Cho em xin tài liệu về chuỗi ôn thi OLP được không ạ :(


Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$

 

$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$

 

$Av_S=\varphi(v)_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.

 

$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$

 

$v_S=Pv_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

https://web.facebook...73449309343792/

nhóm olp 2016


#133 LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-12-2015 - 12:14

Bài 19: (thật ra tương tự câu 14)

Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $\forall x \in \mathbb{R} , \int_0^1 f(xt)dt=0$

Chứng minh $$f(x)=0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$$

Với $x=0 \Rightarrow f(0)=0$

 Với $x \neq 0$ Đặt$u=xt \Rightarrow g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(u)du}{x}=0$

$\Rightarrow \int_{0}^{x}f(u)du=0\forall u $

Do f(x) liên tục nên hàm g(x) khả vị nên Đạo hàm 2 vê ta được $ \Rightarrow g'(x)=f(x)=0
f(0)=0$

Hàm f(x) là hàm hằng $$\Rightarrow f(x)=0$$



#134 mtaA0 S

mtaA0 S

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HVKT Quân sự
  • Sở thích:nhiều thứ

Đã gửi 10-01-2016 - 12:07

Bài 18:Cho hai hàm $f(x),g(x)$ liên tục trong $ [a;b] $ và khả vi trong $ (a;b) $ sao cho $ f(a)=f(b)$ và $g(a)=g(b)$.Chứng minh tồn tại $c\in (a;b)$ thỏa mãn $$ {f( c )}'={g( c )}'.f( c ) $$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mtaA0 S: 10-01-2016 - 12:10


#135 phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lý Tự Trọng
  • Sở thích:Bóng đá

Đã gửi 14-01-2016 - 07:45

Bài 18:Cho hai hàm $f(x),g(x)$ liên tục trong $ [a;b] $ và khả vi trong $ (a;b) $ sao cho $ f(a)=f(b)$ và $g(a)=g(b)$.Chứng minh tồn tại $c\in (a;b)$ thỏa mãn $$ {f( c )}'={g( c )}'.f( c ) $$ 

Lấy hàm $F(x)=ln(f(x))-g(x)$ ,suy ra $F(a)=F(b)$ do đó tồn tại c sao cho $F'(c)=0 \Leftrightarrow đpcm$

Mình cũng HVKTQS nè


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 14-01-2016 - 07:45

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#136 mtaA0 S

mtaA0 S

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HVKT Quân sự
  • Sở thích:nhiều thứ

Đã gửi 14-01-2016 - 10:13

Lấy hàm $F(x)=ln(f(x))-g(x)$ ,suy ra $F(a)=F(b)$ do đó tồn tại c sao cho $F'(c)=0 \Leftrightarrow đpcm$

Mình cũng HVKTQS nè

Nhưng mà hàm f(x) đã dương đâu mà a.Xử lí tiếp đi anh.



#137 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-01-2016 - 12:22

Bài 1:cho hàm$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ khả vi 3 lần.CMR: tồn tại $c \in (-1;1)$ thỏa mãn $\frac{f'''(c)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$

Bài2: chứng minh:$0<\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}dx-\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i^2}<\frac{1}{2016}$ :)



#138 HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:Trời làm màn gối đất làm chiên-Nhật nguyệt cùng ta một giấc yên-Đêm khuya chẳng dám dang chân duỗi-Chỉ sợ sơn hà xã tắc nghiêng.

Đã gửi 26-01-2016 - 10:21

Bài 1:cho hàm$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ khả vi 3 lần.CMR: tồn tại $c \in (-1;1)$ thỏa mãn $\frac{f'''(c)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$

Bài2: chứng minh:$0<\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}dx-\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i^2}<\frac{1}{2016}$ :)

1. Xét hàm $g(x)=f(x)-[\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)]x^3-[\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)]x^2-f'(0)x$.

Thấy ngay $g(1)=g(0)=g(-1)$ (vì cùng bằng $f(0)$) nên tồn tại $c_1 \in (0,1); c_2 \in (-1,0)$ để $g'(c_1)=g'(c_2)=0$ (I).

Thấy ngay $g'(0)=0$ (II).

Như vậy từ (I) và (II) suy ra tồn tại $c_3 \in (0,c_1); c_4 \in (c_2,0)$ để $g''(c_3)=g''(c_4)=0$. Như vậy có $c \in (c_4,c_3)$ mà $g'''(c)=0$ hay $f'''(c)=6[\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)]$ (đpcm).
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 26-01-2016 - 10:22






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh