Đến nội dung

Hình ảnh

Ôn thi Olympic Toán học sinh viên 2015 [Giải tích]

bất đẳng thức tích phân hàm liên tục dãy số chuỗi số đa thức phương trình hàm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 137 trả lời

#121
dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

Em góp vui bài :D

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $[a, b].$ Chứng minh tồn tại $x_0 \in (a, b)$ sao cho \[\frac{1}{x_0-a}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\right)+\frac{1}{x_0-b}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b}\right)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\]

kHÁ LÀ đẹp mắt nhưng a chưa nghĩ ra :D


Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#122
duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết


Em góp vui bài :D

Cho hàm số $f(x)$ khả vi trên $[a, b].$ Chứng minh tồn tại $x_0 \in (a, b)$ sao cho \[\frac{1}{x_0-a}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}\right)+\frac{1}{x_0-b}\left(f'(x_0)-\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b}\right)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\]

xét hàm F(x) được xác định như sau

$F(X)=\left\{\begin{matrix}f'(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b} & x=a \\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(x)-f(b)}{x-b} &x\in (a,b) \\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f'(b) & x=b \end{matrix}\right. $

 
F(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) nên tồn tại $x_0$ thuộc khoảng (a,b) thoã mãn 
$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(x_0)$ ( dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 15-01-2014 - 07:56

NGU
Hình đã gửi

#123
duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết


Các bạn trao đổi về đề Cấp trường của Kinh tế quốc dân năm 2014

Câu 1: Cho dãy số $\left\{ {{a_n}} \right\}$xác định bởi ${a_1} = \frac{1}{2},{a_n} = \frac{{a_n^2}}{{a_n^2 - {a_n} + 1}},\forall n = 1,2,...$

a)      Chứng minh rằng dãy $\left\{ {{a_n}} \right\}$có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b)      Đặt ${b_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}$. Tìm phần nguyên của ${b_n}$và tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {b_n}$.     

 

làm nốt bài này nữa là topnic hết bài ^^.

dễ thấy $a_n > 0 $ với mọi n , ta có : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n +1}\leq \frac{a_n^2}{a_n}=a_n$ vậy dãy số trên hội tụ . dễ chỉ ra $a_n$ hội tụ đến 0.

b) ta có : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2 - a_n +1}\Leftrightarrow a_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1}-\frac{a_{n}}{a_{n}-1}$

$b_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1}-\frac{a_{1}}{a_{1}-1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1} +1$ vậy  $b_n\rightarrow 1$

hơn nữa với n>1 thì ta có $0<a_n<  \frac{1}{2}\Rightarrow -1<\frac{a_n}{a_n-1}<0$ nên  $[b_n] = 0 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duong vi tuan: 17-01-2014 - 12:22

NGU
Hình đã gửi

#124
dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

 

xét hàm F(x) được xác định như sau

$F(X)=\left\{\begin{matrix}f'(a)+\frac{f(a)-f(b)}{a-b} & x=a \\\frac{f(x)-f(a)}{x-a}+\frac{f(x)-f(b)}{x-b} &x\in (a,b) \\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+f'(b) & x=b \end{matrix}\right. $

 
F(x) liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên khoảng (a,b) nên tồn tại $x_0$ thuộc khoảng (a,b) thoã mãn 
$\frac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(x_0)$ ( dpcm)

 

Bắt nguồn từ Flets :D


Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#125
duong vi tuan

duong vi tuan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 229 Bài viết

Bắt nguồn từ Flets :D

??????????????????????????


NGU
Hình đã gửi

#126
dangnamneu

dangnamneu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết

Thêm bài mới trích từ đề Olympic Toán SV ĐH FPT năm 2014

Các câu khá là cũ lấy từ các sách ra.

Câu 1. Tính tích phân $$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}}$$ 

Câu 2. Xác định tất cả các số thực $c>0$ sao cho dãy số

$${{a}_{1}}=\dfrac{c}{2},{{a}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}(c+a _{n}^{2})$$

với $n>0$
hội tụ và tìm giới hạn trong trường hợp đó.

Câu 3. Cho hàm số liên tục $ f : [0;1]\to [0;1]$. Chứng minh phương trình

$2x-\int_{0}^{x}{f(t)dt}=1$

có đúng một nghiệm trong $[0;1]$.

Câu 4. Cho hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và ${f}'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{f}^{2}}(x)}$ với mọi $x\ge 1$. Chứng minh rằng tồn tại $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$.

Câu 5. TÌm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $$xf(y)-yf(x)=f\left( \frac{y}{x} \right)$$ với mọi số thực $y$ và mọi số thực $x\ne 0.$

Câu 6. Cho dãy số thực $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ thỏa mãn 
a) $$({{a}_{n}}+{{b}_{n}}){{a}_{n}}\ne 0$$ với mọi $n\ge 1.$
b) Các chuỗi $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$$ và $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}}$$ đều hội tụ.
Chứng minh rằng chuỗi $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\dfrac{{{a}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}}$$ cũng hội tụ.


 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-03-2014 - 13:03

Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn


#127
Mr Right

Mr Right

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Bài 1. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: $ f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $ với $ n\geq2 $. Chứng minh rằng tồn tại $ \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} $ và tìm giới hạn đó.

Bài 2. Cho hàm số f dương và liên tục trên đoạn $ [0;1] $. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên $ n $ tồn tại $ \theta(n) $ sao cho: $ \dfrac{1}{n}.\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=\displaystyle \int_{0}^{\theta(n)}f(x)dx+\displaystyle \int_{1-\theta(n)}^{1}f(x)dx $. Tính $ \lim\limits_{x\to \infty} (n.\theta(n)) $

Bài 3. Cho dãy $ (x_{n}) $ thỏa mãn $ \lim\limits_{x\to \infty} (2008x_{n+1}-2007x_{n})=1 $. Chứng minh rằng dãy $ (x_{n}) $ hội tụ và $ \lim\limits_{x\to \infty}x_{n}=1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-03-2014 - 13:02

Love Makes Me Stronger


#128
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 1. Dãy số Fibonacci được định nghĩa như sau: $ f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n+1}=f_{n}+f_{n-1} $ với $ n\geq2 $. Chứng minh rằng tồn tại $ \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f_{n+1}}{f_{n}} $ và tìm giới hạn đó.

Câu này yêu cầu đề có thiếu gì không nhỉ :-/

Áp dụng công thức Binet ta có

$$\lim\limits_{n\to +\infty} \frac{f_{n+1}}{f_n}=\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2} )^{n+1}}{(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}  )^{n}} =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#129
Mr Right

Mr Right

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
Bài 4. Với giá trị nào của $ a>1 $ thì tích phân $ I(a)=\displaystyle\int_{a}^{a^{2}}\dfrac{1}{x}ln\dfrac{x-1}{32}dx $ đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 5. Cho hàm $ f $ xác định và liên tục trên đoạn $ [a,b] $ và có $ f^{'}, f^{"} $ liên tục trên khoảng $ (a,b), f(a)=f(b)=0 $. Chứng minh rằng: với $ \forall x\in(a,b), \exists z(x)\in(a,b) $ để $ f(x)=\dfrac{(x-a)(x-b)}{2}.f^{"}(z(x)) $
Bài 6. Cho dãy số $ x_{n} $ được xác định như sau: $ x_{1}=\dfrac{1}{3}, x_{2n}=\dfrac{1}{3}x_{2n-1}, x_{2n+1}=\dfrac{1}{3}+x_{2n}, n=1,2,\cdots $. Tìm $ \lim\limits_{x \to \infty} sup x_{n}, \lim\limits_{x \to \infty} inf x_{n}? $
Bài 7. Nếu hàm số $ f:(0,1)\rightarrow[0,1] $ là một song ánh thì $ f $ có thể liên tục được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Right: 03-03-2014 - 16:32

Love Makes Me Stronger


#130
ChangBietDatTenSaoChoDoc

ChangBietDatTenSaoChoDoc

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).


Success is getting what you want

Happiness is wanting what you get

$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$


#131
KoBietDatTenSaoChoHot

KoBietDatTenSaoChoHot

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 143 Bài viết

Bài 7. $f$ không liên tục. Vì ngược lại, nghịch ảnh của tập đóng là một tập mở (vô lý).

 

Có lẻ em suy nghĩ chưa kỹ rồi. Hai khoảng $(0,1)$, $[0,1]$ nên được nhìn nhận là hai ko gian riêng lẻ, chứ ko phải là hai tập con của $\mathbb{R}$. 

 

Lời giải như sau: giả sử $f: (0,1)\to [0,1]$ là liên tục. Gọi $g=f^{-1}$, hàm ngược của f. Thì $g$ liên tục (hãy chứng minh nó nếu các bạn có hứng). Ta có 

$g:[0,1]\to (0,1)$ là liên tục. Nhưng điều này vô lý vì $[0,1]$ là ko gian compact, trong khi $(0,1)$ ko phải compact (vô lý vì ta có tính chất rằng ảnh của một ko gian compact qua một hàm liên tục là compact).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KoBietDatTenSaoChoHot: 27-08-2014 - 12:05

Giá như ta thích toán sớm hơn một chút...

#132
quangbinng

quangbinng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết

Cho em xin tài liệu về chuỗi ôn thi OLP được không ạ :(


Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$

 

$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$

 

$Av_S=\varphi(v)_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.

 

$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$

 

$v_S=Pv_T$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

https://web.facebook...73449309343792/

nhóm olp 2016


#133
LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

Bài 19: (thật ra tương tự câu 14)

Cho $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ liên tục sao cho $\forall x \in \mathbb{R} , \int_0^1 f(xt)dt=0$

Chứng minh $$f(x)=0 \;\;,\forall x \in \mathbb{R}$$

Với $x=0 \Rightarrow f(0)=0$

 Với $x \neq 0$ Đặt$u=xt \Rightarrow g(x)=\frac{\int_{0}^{x}f(u)du}{x}=0$

$\Rightarrow \int_{0}^{x}f(u)du=0\forall u $

Do f(x) liên tục nên hàm g(x) khả vị nên Đạo hàm 2 vê ta được $ \Rightarrow g'(x)=f(x)=0
f(0)=0$

Hàm f(x) là hàm hằng $$\Rightarrow f(x)=0$$



#134
mtaA0 S

mtaA0 S

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Bài 18:Cho hai hàm $f(x),g(x)$ liên tục trong $ [a;b] $ và khả vi trong $ (a;b) $ sao cho $ f(a)=f(b)$ và $g(a)=g(b)$.Chứng minh tồn tại $c\in (a;b)$ thỏa mãn $$ {f( c )}'={g( c )}'.f( c ) $$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mtaA0 S: 10-01-2016 - 12:10


#135
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

Bài 18:Cho hai hàm $f(x),g(x)$ liên tục trong $ [a;b] $ và khả vi trong $ (a;b) $ sao cho $ f(a)=f(b)$ và $g(a)=g(b)$.Chứng minh tồn tại $c\in (a;b)$ thỏa mãn $$ {f( c )}'={g( c )}'.f( c ) $$ 

Lấy hàm $F(x)=ln(f(x))-g(x)$ ,suy ra $F(a)=F(b)$ do đó tồn tại c sao cho $F'(c)=0 \Leftrightarrow đpcm$

Mình cũng HVKTQS nè


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 14-01-2016 - 07:45

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#136
mtaA0 S

mtaA0 S

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Lấy hàm $F(x)=ln(f(x))-g(x)$ ,suy ra $F(a)=F(b)$ do đó tồn tại c sao cho $F'(c)=0 \Leftrightarrow đpcm$

Mình cũng HVKTQS nè

Nhưng mà hàm f(x) đã dương đâu mà a.Xử lí tiếp đi anh.



#137
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

Bài 1:cho hàm$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ khả vi 3 lần.CMR: tồn tại $c \in (-1;1)$ thỏa mãn $\frac{f'''(c)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$

Bài2: chứng minh:$0<\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}dx-\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i^2}<\frac{1}{2016}$ :)



#138
HeilHitler

HeilHitler

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Bài 1:cho hàm$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ khả vi 3 lần.CMR: tồn tại $c \in (-1;1)$ thỏa mãn $\frac{f'''(c)}{6}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)$

Bài2: chứng minh:$0<\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{e^{x}-1}dx-\sum_{i=1}^{2016}\frac{1}{i^2}<\frac{1}{2016}$ :)

1. Xét hàm $g(x)=f(x)-[\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)]x^3-[\frac{f(1)+f(-1)}{2}-f(0)]x^2-f'(0)x$.

Thấy ngay $g(1)=g(0)=g(-1)$ (vì cùng bằng $f(0)$) nên tồn tại $c_1 \in (0,1); c_2 \in (-1,0)$ để $g'(c_1)=g'(c_2)=0$ (I).

Thấy ngay $g'(0)=0$ (II).

Như vậy từ (I) và (II) suy ra tồn tại $c_3 \in (0,c_1); c_4 \in (c_2,0)$ để $g''(c_3)=g''(c_4)=0$. Như vậy có $c \in (c_4,c_3)$ mà $g'''(c)=0$ hay $f'''(c)=6[\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f'(0)]$ (đpcm).
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 26-01-2016 - 10:22






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức tích phân, hàm liên tục, dãy số, chuỗi số, đa thức, phương trình hàm

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh