Chủ đề này có 3 trả lời

[cvp]

Cho $a;b;c;d$ là $4$ số dương thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng Minh Rằng:
$a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}$

[Ispectorgadget]

Bài này còn 1 cách sử dụng Am-GM

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$$\Rightarrow a^3\geq b^3\geq c^3$
Áp dụng BĐT Chebishev cho bộ dãy đơn điệu tăng
$a.a^3+b.b^3+c.c^3+d.d^3\geq \dfrac{(a+b+c+d)}{4}.(a^3+b^3+c^3+d^3)=a^3+b^3+c^3+d^3$
Bài viết 400

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-12-2011 - 23:10

[perfectstrong]

Xài Cauchy-Schwart là quen thuộc nhất.
Lời giải:
\[\left( {\sum {{a^2}} } \right)\left( {\sum {{a^4}} } \right) \ge {\left( {\sum {{a^3}} } \right)^2} \Rightarrow \dfrac{{\sum {{a^4}} }}{{\sum {{a^3}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^3}} }}{{\sum {{a^2}} }}\]
Tương tự, ta thu được dãy bất đẳng thức sau:
\[\dfrac{{\sum {{a^4}} }}{{\sum {{a^3}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^3}} }}{{\sum {{a^2}} }} \ge \dfrac{{\sum {{a^2}} }}{{\sum a }} \ge \dfrac{{\dfrac{1}{4}{{\left( {\sum a } \right)}^2}}}{{\sum a }} = 1 \Rightarrow Q.E.D\]

[catbuilts]

ta sẽ chứng minh a²+b²+c²+d² ≥ a+b+c+d. (1)
a²+1≥ 2a (AM-GM). Tương tự cho b, c, d. Cộng lại ta đc (1)
tiếp theo, chứng minh a³+b³+c³+d³ ≥ a²+b²+c²+d² (2)
a³ + a³ + 1 ≥ 3a². Tương tự suy ra (2), => a³+b³+c³+d³ ≥ 4 (*)
Quay lại bài toán, ta có
a⁴ +a⁴ +a⁴ + 1 ≥ 4 a³
Tương tự với b, c, d. kết hợp với (*), ta dc đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi catbuilts: 25-12-2011 - 00:05