chứng minh :$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$
#1
Đã gửi 25-12-2011 - 14:13
cho a,b,c>0.CM :$\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$
- Tea Coffee yêu thích
#2
Đã gửi 25-12-2011 - 17:46
Cái BĐT đầu thì quá nổi tiếng rồi.Nó có tên gọi là BĐT Vasc.Cách chứng minh cho nó thì rất đa dạng.Sau đây xin trích dẫn lời giải của anh Bà Cẩn:chứng minh :$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ với a,b,c >0
cho a,b,c>0.CM :$\dfrac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\dfrac{b^3}{a^2-ac+c^2}+\dfrac{c^3}{a^2-ab+b^2}$
Còn cái BĐT dưới mình đoán là bạn muốn chứng minh nó lớn hơn hay bằng $a+b+c$ phải không ?Sử dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ với $x=a^2+bc-ab;y=b^2+ca-bc;z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\[\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$
- Ispectorgadget, Tham Lang, HÀ QUỐC ĐẠT và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 25-01-2012 - 23:17
$ (a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3 b+b^3 c+c^3 a)=\frac{1}{2}(a^2-b^2+2bc-ab-ac)^2 + \frac{1}{2}(b^2-c^2+2ac-bc-ba) + \frac{1}{2} (c^2-a^2+2ab-ca-cb)^2 $
Công nhận ông Vasile Cirtoaje nghĩ ra được nhiều bất đẳng thức....không thể tưởng tượng nổi >.<
- Tham Lang và leminhnghiatt thích
My blog
My website
Bán acc Megaupload giá rẻ, giảm giá đặc biệt cho các thành viên của VMF
Contact: 01644 036630
#4
Đã gửi 25-01-2012 - 23:35
$a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3\geq 2(a^3b+b^3c+c^3b)$
BĐT cần cm $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3- 2(a^3b+b^3c+c^3b)\geq 0$
$VT=\frac{1}{2}(a^2-b^2+bc-ba)^2+\frac{1}{2}(b^2-c^2+ac-bc)^2+\frac{1}{2}(c^2-a^2+ab-ac)^2\geq 0$
- Tham Lang và leminhnghiatt thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#5
Đã gửi 25-01-2012 - 23:50
$${({a^2} + {b^2} + {c^2})^2} - 3({a^3}b + {b^3}c + {c^3}a)$$
$$= {\sum {\left( {\frac{1}{2}{a^2} - \frac{{3 + \sqrt 5 }}{4}ab + \frac{{\sqrt 5 }}{2}ac + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}{b^2} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{4}bc - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{4}{c^2}} \right)} ^2} \ge 0$$
Bạn nào mà muốn ham thú với mấy cái phân tích thành tổng bình phương thì có ở đây nhé sang mà luyện tập
http://diendantoanho...showtopic=64864
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 26-01-2012 - 01:15
- Yagami Raito, nguyenta98, PlanBbyFESN và 3 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 28-04-2021 - 17:19
chứng minh :$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$ với a,b,c >0
Bài này đúng với mọi số thực $a,b,c$ nhé!
Thật vậy: $4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)]=[(a^3+b^3+c^3)-5(a^2b+b^2c+c^2a)+4(ab^2+bc^2+ca^2)]^2+3[(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)-2(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh