Đến nội dung

Hình ảnh

$\triangle ABC$ có t/c gì nếu có: $1+\cos B+\cos C-\cos A=\sin A+\sin B+\sin C$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
MIM

MIM

    KTS tương lai

  • Thành viên
  • 334 Bài viết
LƯỢNG GIÁC 10
Tam giác ABC có tính chất gì nếu có:

a)$1+cosB+cosC-cosA=sinA+sinB+sinC$

b)$cos2A+cos2B+cos2C+1=0$

c)$tanA+tanB=2cot\dfrac{C}{2}$

d)$\dfrac{1+cosB}{1-cosB}=\dfrac{2sinA+sinC}{2sinA-sinC}$

e)$sin\dfrac{A}{2}.cos^{3}\dfrac{B}{2}=sin\dfrac{B}{2}cos^{3}\dfrac{A}{2}$

#2
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Bài làm
e) \[\sin \dfrac{A}{2}.{\cos ^3}\dfrac{B}{2} = \sin \dfrac{B}{2}.{\cos ^3}\dfrac{A}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{A}{2}}} = \tan \dfrac{B}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{B}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{A}{2}} \right) = \tan \dfrac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{B}{2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {\tan ^3}\dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{A}{2} = {\tan ^3}\dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{B}{2}\]
Đến đây:
Nếu $A>B$, $A<B$ đều dẫn đến điều vô lý.
Suy ra $A=B$ nên tam giác $ABC$ cân tại $C$

P/s: Các câu a,b,c,d dùng biến đổi lượng giác thông thường.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25-12-2011 - 17:16

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#3
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
  • LƯỢNG GIÁC 10
    Tam giác ABC có tính chất gì nếu có:

    a)$1+cosB+cosC-cosA=sinA+sinB+sinC$

    b)$cos2A+cos2B+cos2C+1=0$

    c)$tanA+tanB=2cot\dfrac{C}{2}$

    d)$\dfrac{1+cosB}{1-cosB}=\dfrac{2sinA+sinC}{2sinA-sinC}$

    e)$sin\dfrac{A}{2}.cos^{3}\dfrac{B}{2}=sin\dfrac{B}{2}cos^{3}\dfrac{A}{2}$

  • a)Ta có :$1+cosB+cosC-cosA=4cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}$;$sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$$\Rightarrow tan\frac{A}{2}=1\Rightarrow$$\Delta ABC$ vuông tại A

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 06-02-2013 - 16:25


#4
phanquockhanh

phanquockhanh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 310 Bài viết
b)$gt\Leftrightarrow 2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^{2}2C=0$
$\Leftrightarrow -2cosC(cos(A-B)+cos(A+B))=0\Leftrightarrow 4cosAcosBcosC=0
\Leftrightarrow cosA=0$ hoặc cosB=0 hoặc cosC=0
$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông
c)Ta có:$tanA+tanB= \frac{sin(A+B)}{cosAcosB}=2\frac{sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{cosAcosB}$
Do đó:$gt\Leftrightarrow \frac{2sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}{cosAcosB}=2\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}\Leftrightarrow cosAcosB=sin^{2}\frac{C}{2}$$\Leftrightarrow cos(A+B)+cos(A-B)=1-cosC
\Leftrightarrow cos(A-B)+1\Leftrightarrow cos(A-B)=1
\Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$
$\Rightarrow\Delta$ ABC cân tại C.
d)$gt\Leftrightarrow \frac{1-cosB+1+cosB}{1-cosB}=\frac{2a-c+2a+c}{2a-c}
\Leftrightarrow \frac{2}{1-cosB}=\frac{4a}{2a-c}
\Leftrightarrow c= 2acosB
\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}+c^{2}-b^{2}
\Leftrightarrow a= b$.
$\Rightarrow\Delta$ ABC cân tại C

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 06-02-2013 - 18:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh