$\triangle ABC$ có t/c gì nếu có: $1+\cos B+\cos C-\cos A=\sin A+\sin B+\sin C$
Bắt đầu bởi MIM, 25-12-2011 - 17:03
#1
Đã gửi 25-12-2011 - 17:03
LƯỢNG GIÁC 10
Tam giác ABC có tính chất gì nếu có:
a)$1+cosB+cosC-cosA=sinA+sinB+sinC$
b)$cos2A+cos2B+cos2C+1=0$
c)$tanA+tanB=2cot\dfrac{C}{2}$
d)$\dfrac{1+cosB}{1-cosB}=\dfrac{2sinA+sinC}{2sinA-sinC}$
e)$sin\dfrac{A}{2}.cos^{3}\dfrac{B}{2}=sin\dfrac{B}{2}cos^{3}\dfrac{A}{2}$
Tam giác ABC có tính chất gì nếu có:
a)$1+cosB+cosC-cosA=sinA+sinB+sinC$
b)$cos2A+cos2B+cos2C+1=0$
c)$tanA+tanB=2cot\dfrac{C}{2}$
d)$\dfrac{1+cosB}{1-cosB}=\dfrac{2sinA+sinC}{2sinA-sinC}$
e)$sin\dfrac{A}{2}.cos^{3}\dfrac{B}{2}=sin\dfrac{B}{2}cos^{3}\dfrac{A}{2}$
#2
Đã gửi 25-12-2011 - 17:14
Bài làm
e) \[\sin \dfrac{A}{2}.{\cos ^3}\dfrac{B}{2} = \sin \dfrac{B}{2}.{\cos ^3}\dfrac{A}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{A}{2}}} = \tan \dfrac{B}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{B}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{A}{2}} \right) = \tan \dfrac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{B}{2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {\tan ^3}\dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{A}{2} = {\tan ^3}\dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{B}{2}\]
Đến đây:
Nếu $A>B$, $A<B$ đều dẫn đến điều vô lý.
Suy ra $A=B$ nên tam giác $ABC$ cân tại $C$
P/s: Các câu a,b,c,d dùng biến đổi lượng giác thông thường.
e) \[\sin \dfrac{A}{2}.{\cos ^3}\dfrac{B}{2} = \sin \dfrac{B}{2}.{\cos ^3}\dfrac{A}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{A}{2}}} = \tan \dfrac{B}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{B}{2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \tan \dfrac{A}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{A}{2}} \right) = \tan \dfrac{B}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{B}{2}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow {\tan ^3}\dfrac{A}{2} + \tan \dfrac{A}{2} = {\tan ^3}\dfrac{B}{2} + \tan \dfrac{B}{2}\]
Đến đây:
Nếu $A>B$, $A<B$ đều dẫn đến điều vô lý.
Suy ra $A=B$ nên tam giác $ABC$ cân tại $C$
P/s: Các câu a,b,c,d dùng biến đổi lượng giác thông thường.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25-12-2011 - 17:16
- funcalys, MIM và phanquockhanh thích
Sống trên đời
Cần có một tấm lòng
Để làm gì em biết không?
Để gió cuốn đi...
#3
Đã gửi 06-02-2013 - 16:24
LƯỢNG GIÁC 10
Tam giác ABC có tính chất gì nếu có:
a)$1+cosB+cosC-cosA=sinA+sinB+sinC$
b)$cos2A+cos2B+cos2C+1=0$
c)$tanA+tanB=2cot\dfrac{C}{2}$
d)$\dfrac{1+cosB}{1-cosB}=\dfrac{2sinA+sinC}{2sinA-sinC}$
e)$sin\dfrac{A}{2}.cos^{3}\dfrac{B}{2}=sin\dfrac{B}{2}cos^{3}\dfrac{A}{2}$- a)Ta có :$1+cosB+cosC-cosA=4cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}sin\frac{A}{2}$;$sinA+sinB+sinC=4cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$$\Rightarrow tan\frac{A}{2}=1\Rightarrow$$\Delta ABC$ vuông tại A
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 06-02-2013 - 16:25
#4
Đã gửi 06-02-2013 - 16:51
b)$gt\Leftrightarrow 2cos(A+B)cos(A-B)+2cos^{2}2C=0$
$\Leftrightarrow -2cosC(cos(A-B)+cos(A+B))=0\Leftrightarrow 4cosAcosBcosC=0
\Leftrightarrow cosA=0$ hoặc cosB=0 hoặc cosC=0
$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông
c)Ta có:$tanA+tanB= \frac{sin(A+B)}{cosAcosB}=2\frac{sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{cosAcosB}$
Do đó:$gt\Leftrightarrow \frac{2sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}{cosAcosB}=2\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}\Leftrightarrow cosAcosB=sin^{2}\frac{C}{2}$$\Leftrightarrow cos(A+B)+cos(A-B)=1-cosC
\Leftrightarrow cos(A-B)+1\Leftrightarrow cos(A-B)=1
\Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$
$\Rightarrow\Delta$ ABC cân tại C.
d)$gt\Leftrightarrow \frac{1-cosB+1+cosB}{1-cosB}=\frac{2a-c+2a+c}{2a-c}
\Leftrightarrow \frac{2}{1-cosB}=\frac{4a}{2a-c}
\Leftrightarrow c= 2acosB
\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}+c^{2}-b^{2}
\Leftrightarrow a= b$.
$\Rightarrow\Delta$ ABC cân tại C
$\Leftrightarrow -2cosC(cos(A-B)+cos(A+B))=0\Leftrightarrow 4cosAcosBcosC=0
\Leftrightarrow cosA=0$ hoặc cosB=0 hoặc cosC=0
$\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông
c)Ta có:$tanA+tanB= \frac{sin(A+B)}{cosAcosB}=2\frac{sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{cosAcosB}$
Do đó:$gt\Leftrightarrow \frac{2sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}}{cosAcosB}=2\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}\Leftrightarrow cosAcosB=sin^{2}\frac{C}{2}$$\Leftrightarrow cos(A+B)+cos(A-B)=1-cosC
\Leftrightarrow cos(A-B)+1\Leftrightarrow cos(A-B)=1
\Leftrightarrow \widehat{A}=\widehat{B}$
$\Rightarrow\Delta$ ABC cân tại C.
d)$gt\Leftrightarrow \frac{1-cosB+1+cosB}{1-cosB}=\frac{2a-c+2a+c}{2a-c}
\Leftrightarrow \frac{2}{1-cosB}=\frac{4a}{2a-c}
\Leftrightarrow c= 2acosB
\Leftrightarrow c^{2}=a^{2}+c^{2}-b^{2}
\Leftrightarrow a= b$.
$\Rightarrow\Delta$ ABC cân tại C
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 06-02-2013 - 18:39
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh