Cho $\left( {{a_n}} \right),n \in N$ là một dãy số dương.
a) Chứng minh nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = r$, thì
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_n}}} = r$
b) Tính $\lim_{n\to \infty }\dfrac{n}{\sqrt[n]{n!}}$
Trước tiên, ta có phát biểu cho định lí Toeplitz sẽ được dùng cho bài toán.
Định lí Toeplitz: Giả sử đồng thời xảy ra các điều kiện:
1. Các số ${P_{nk}} > 0$ với mọi $n,k\in \mathbb{N}^{*}$
2. $\sum\limits_{k = 1}^n {{P_{nk}}} = 1$ với mọi $n\in \mathbb{N}^{*}$
3. Với mỗi $k$ cố định, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {P_{nk}} = 0$
4. $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = a$ hữu hạn.
Khi đó, dãy $\left( {{u_n}} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{P_{nk}}} {x_k}$ hội tụ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a$.
Trở lại bài toán:Câu 1: Ta sẽ chứng minh: Nếu dãy dương $\left( {{a_n}} \right)$ hội tụ về $a > 0$ thì $$\boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} = a}$$
Thật vậy, ta có: $\ln {a_n} \to \ln a$ nên theo định lí Toeplitz:
$$\dfrac{{\ln {a_1} + \ln {a_2} + ... + \ln {a_n}}}{n} \to \ln a \Rightarrow \ln \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} \to \ln a \Rightarrow \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} \to a$$
Đặt $${y_1} = {x_1};\,\,{y_n} = \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\,\,\left( {n \geqslant 2} \right) \Rightarrow \sqrt[n]{{{x_n}}} = \sqrt[n]{{{y_1}{y_2}...{y_n}}}$$
Theo chứng minh trên, ta có:$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{x_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{{y_1}{y_2}...{y_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {y_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = a$$
Bài toán đã được chứng minh xong.
Câu 2: Đặt ${x_n} = \dfrac{{{n^n}}}{{n!}}$. Ta có: $\dfrac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} = {\left( {\dfrac{n}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = {\left( {1 + \dfrac{1}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \lim \dfrac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} = \lim {\left( {1 + \dfrac{1}{{n - 1}}} \right)^{n - 1}} = e$
Mặt khác ta có: Nếu ${x_n} > 0$ và $\lim \dfrac{{{x_n}}}{{{x_{n - 1}}}} = A$ thì $\lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = A$ (dễ dàng CM). Do đó $$\lim \dfrac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}} = \lim \sqrt[n]{{{x_n}}} = e$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 25-12-2011 - 19:59