Chủ đề này có 11 trả lời

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Hôm nay, em đăng vài bài toán mọi người cùng giải nha!!!

1. Cho a=$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
a) Tính f(a) nếu f(x)=$\left ( x^{3}-3x-7 \right )^{2008}+2009$
b) Chứng minh: $a^{8}>3^{6}$

2.Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện:

1) $\dfrac{x-y\sqrt{2009}}{y-z\sqrt{2009}}$ là số hữu tỷ.

2) x² + y² + z² là một số nguyên tố.

3. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn: x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất của: A=$xy^{4}+x^{4}y$.
4. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mán điều kiện:
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 1$ với $\forall x \in \mathbb{R}$
Tính giá trị biểu thức: $M=(a^2-9)(b^2-9)(c^2-9)(d^2-9)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 28-12-2011 - 21:51

[Cao Xuân Huy]

Bài 1:
a) Ta có: ${a^3} = 3 + 2\sqrt 2 + 3 - 2\sqrt 2 + 3\sqrt[3]{{(3 + 2\sqrt 2 )(3 - 2\sqrt 2 )}}.a = 3a + 6$

Vậy: $f(a) = {({a^3} - 3a - 7)^{2008}} + 2009 = {( - 1)^{2008}} + 2009 = 2010$

b) Dễ thấy a là số dương nên ta chứng minh: ${a^4} > {3^3}$

Ta có: ${a^4} = a.{a^3} = a(3a + 6) = 3{(a + 1)^2} - 3$

Đến đây dùng phép biến đổi tương đương:

$3{(a + 1)^2} - 3 > {3^3} \Leftrightarrow {(a + 1)^2} > 10 \Leftrightarrow a > \sqrt {10} - 1$

Ta để ý thì có: $\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} > \sqrt[3]{{3 + 2}} > \sqrt[3]{{3 + 1,913}} = 1,7$

Tương tự: $\sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }} > 0,5$

Do đó: $VT > 2,2 = \sqrt {10,24} - 1 > \sqrt {10} - 1$

Vậy ta có ĐPCM.
-----------------------------------------------------
Tối nếu rảnh thì mình post tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 28-12-2011 - 20:10

[xuanhung]

Hôm nay, em đăng vài bài toán mọi người cùng giải nha!!!

1. Cho a=$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
a) Tính f(a) nếu f(x)=$\left ( x^{3}-3x-7 \right )^{2008}+2009$
b) Chứng minh: $a^{8}>3^{6}$

2.Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện:

1) $\dfrac{x-y\sqrt{2009}}{y-z\sqrt{2009}}$ là số hữu tỷ.

2) x² + y² + z² là một số nguyên tố.

3. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn: x+y=1.
Tìm giá trị lớn nhất của: A=$xy^{4}+x^{4}y$.
4. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mán điều kiện:
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = $x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 1$ với $\forall x \epsilon R$
Tính giá trị biểu thức: M=(a² - 9)(b² - 9)(c² - 9)(d² - 9)

Bài 3:
Ta có: x+y=1
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1-2xy$
Theo đề bài: $xy^{4}+x^{4}y= xy(x^{3}+y^{3})$$=xy(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$=$xy(-xy+1-2xy)= xy(-3xy+1)= -3(xy)^{2}+xy$
Đặt t= xy
Ta có: $-3t^{2}+t= -3(t^{2}-\dfrac{t}{3})= -3(t^{2}-2\times \dfrac{t}{6}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{36})= -3(t-\dfrac{1}{6})^{2}+\dfrac{1}{12}$
$Max(xy^{4}+ x^{4}y)= \dfrac{1}{12}\Leftrightarrow -3(t-\dfrac{1}{6})^{2}= 0 \Leftrightarrow t=\dfrac{1}{6}$
---------------------------------------------------------
Đây là bài 3 chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhung: 29-12-2011 - 11:46

[xuanhung]

Mấy bài anh nghĩa cho toàn mấy dạng mới, trên diễn đàn cũng có nhiều bài lạ mà chưa bao giờ em thấy ở vĩnh long, xin chỉ giáo nhiều hơn

[perfectstrong]

4. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mán điều kiện:
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 1$ với $\forall x \in \mathbb{R}$
Tính giá trị biểu thức: $M=(a^2-9)(b^2-9)(c^2-9)(d^2-9)$

Bài 4:
Sử dụng định lý Viete bậc 4, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{S_1} = a + b + c + d = - 1 \\
{S_2} = ab + bc + cd + da = - 8 \\
{S_3} = abc + abd + acd + bcd = 1 \\
{S_4} = abcd = 1 \\
\end{array} \right. \\
M = \left[ {\left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right)\left( {c - 3} \right)\left( {d - 3} \right)} \right]\left[ {\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {d + 3} \right)} \right] \\
\left( {a - 3} \right)\left( {b - 3} \right)\left( {c - 3} \right)\left( {d - 3} \right) = {S_4} - 3{S_3} + 9{S_2} - 27{S_1} = - 47 \\
\left( {a + 3} \right)\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {d + 3} \right) = {S_4} + 3{S_3} + 9{S_2} + 27{S_1} = - 95 \\
\Rightarrow M = 4465 \\
\end{array}\]

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Cách của anh Perfectstrong rất hay, nhưng theo em đối với các bạn chưa học đến học kì II lớp 9 thì định lí Viete có lẽ là hơi khó hiểu. Em làm như sau :
Đặt
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^{4}+x^{3}-8x^{2}-8x+1$
$ \Leftrightarrow (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)=x^{4}+x^{3}-8x^{2}-8x+1$

Có:
$ M=(a^{2}-9)(b^{2}-9)(c^{2}-9)(d^{2}-9)$
$ \Leftrightarrow M=[(a-3)(b-3)(c-3)(d-3)][(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)]$
$ \Leftrightarrow M=f(3).f(-3)$

=> M= -476

Kết quả của em ra khác anh anh thử kiểm tra lại giùm em nha!!!

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Mình thêm 1 số bài nha!
1.Giải phương trình: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+x}+\sqrt{\dfrac{1}{2}-x}=1$

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=\sqrt{28+3x-x^{2}}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Trung Nghĩa: 29-12-2011 - 18:44

[Cao Xuân Huy]

4. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mán điều kiện:
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - x + 1$ với $\forall x \in \mathbb{R}$
Tính giá trị biểu thức: $M=(a^2-9)(b^2-9)(c^2-9)(d^2-9)$

Cách của anh Perfectstrong rất hay, nhưng theo em đối với các bạn chưa học đến học kì II lớp 9 thì định lí Viete có lẽ là hơi khó hiểu. Em làm như sau :
Đặt
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^{4}+x^{3}-8x^{2}-8x+1$
$ \Leftrightarrow (a-x)(b-x)(c-x)(d-x)=x^{4}+x^{3}-8x^{2}-8x+1$
Có:
$ M=(a^{2}-9)(b^{2}-9)(c^{2}-9)(d^{2}-9)$
$ \Leftrightarrow M=[(a-3)(b-3)(c-3)(d-3)][(a+3)(b+3)(c+3)(d+3)]$
$ \Leftrightarrow M=f(3).f(-3)$
=> M= -476

Bạn coi lại đề ở chỗ đó nhé.
______________________________________________

1.Giải phương trình: $\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}+x}+\sqrt{\dfrac{1}{2}-x}=1$

Mình giải bài 1 nhé.

Đặt $a = \sqrt[3]{{\dfrac{1}{2} + x}}$ ; $b = \sqrt {\dfrac{1}{2} - x} $ (ĐK: $b\ge 0$$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{a^3} + {b^2} = 1\end{array} \right.$

Từ phương trình trên ta rút ra: $b=1-a$ thay vào phương trình dưới ta được:

${a^3} + {(1 - a)^2} = 1 \Leftrightarrow {a^3} + {a^2} - 2a = 0 \Leftrightarrow a(a + 2)(a - 1) = 0$


$ \Leftrightarrow a(a + 2)(a - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 2\\a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{2}\\x = \dfrac{{ - 17}}{2}\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Cả 3 giá trị này đều thỏa mãn điều kiện $b \ge 0$ nên phương trình có $3$ nghiệm như trên

[Nguyễn Trung Nghĩa]

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=\sqrt{28+3x-x^{2}}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$

Mình làm bài này nha!!!
Ta tìm ĐKXĐ:
$\left\{\begin{matrix} 28+3x-x^{2}\geq 0 & \\ 5+4x-x^{2}\geq 0& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+4)(7-x)\geq 0 & \\
(x+1)(5-x)\geq 0&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 1\leq x\leq 5$

Ta có
$M=\sqrt{28+3x-x^{2}}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$
$\Leftrightarrow M=\sqrt{23-x+(5+4x-x^{2})}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$
Vì $5+4x-x^{2}\geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{28-x+(5+4x-x^{2})}\geq \sqrt{28-x}$$\Rightarrow M\geq \sqrt{28-x}$
Vậy M min khi (28-x)min nên x sẽ max
Theo đk bài $\Leftrightarrow 1\leq x\leq 5$ nên $x_{max}=5$
$\Rightarrow M_{min}=\sqrt{28-5}=\sqrt{18}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Trung Nghĩa: 03-01-2012 - 16:26

[Nguyễn Trung Nghĩa]

b) Dễ thấy a là số dương nên ta chứng minh: ${a^4} > {3^3}$

Ta có: ${a^4} = a.{a^3} = a(3a + 6) = 3{(a + 1)^2} - 3$

Đến đây dùng phép biến đổi tương đương:

$3{(a + 1)^2} - 3 > {3^3} \Leftrightarrow {(a + 1)^2} > 10 \Leftrightarrow a > \sqrt {10} - 1$

Ta để ý thì có: $\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} > \sqrt[3]{{3 + 2}} > \sqrt[3]{{3 + 1,913}} = 1,7$

Tương tự: $\sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }} > 0,5$

Do đó: $VT > 2,2 = \sqrt {10,24} - 1 > \sqrt {10} - 1$

Vậy ta có ĐPCM.

Cảm ơn bạn vì cách giải vừa rồi nhưng mình có cách khác như sau:
Ta có: $a^{3}=6+3a=3(1+1+a)> 3.3\sqrt[3]{a}$
(Theo BĐT Cô-si cho 3 số dương)
Dấu "=" không xảy ra vì nếu xảy ra thì x=1, ta dễ chúng minh đc x>1 như sau:
$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}>\sqrt[3]{1}=1$
và $\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}> 0$
$\Rightarrow a> 1$

Ta có: $a^{3}> 3^{2}.\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow (a^{3})^{3}>(3^{2}.\sqrt[3]{a})^{3}$
$\Leftrightarrow a^{9}>3^{6}.a\Leftrightarrow a^{8}>3^{6}$
Vậy ta có ĐPCM

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Các bạn giúp mình bài này nha!!!
Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh:
$\dfrac{3+a^{2}}{b+c}+\dfrac{3+b^{2}}{c+a}+\dfrac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Trung Nghĩa: 03-01-2012 - 17:26

[yeutoan11]

Các bạn giúp mình bài này nha!!!
Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh:
$\dfrac{3+a^{2}}{b+c}+\dfrac{3+b^{2}}{c+a}+\dfrac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

Các bạn giúp mình bài này nha!!!
Cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh:
$\dfrac{3+a^{2}}{b+c}+\dfrac{3+b^{2}}{c+a}+\dfrac{3+c^{2}}{a+b}\geq 6$

Đặt VT = A
$A = \sum \dfrac{3}{b+c}+\sum \dfrac{a^2}{b+c}\geq \dfrac{(3\sqrt{3})^2+(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{27+9}{6}=6$