Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * - - 2 Bình chọn

Một số bất đẳng thức sử dụng Cauchy-Schwarz

123132

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 truongson463

truongson463

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 26-12-2011 - 22:10

Nhờ mọi người giải kĩ hộ
Bài 1: Cho ba số thực dương [TEX]a,b,c[/TEX] thoả:
\[\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{b^2} + {c^2} + 1}} + \dfrac{1}{{{c^2} + {a^2} + 1}} \geqslant 1\]
CMR: \[ab + bc + ca \leqslant 3\]
Bài 2: Cho 3 số thưc dương a,b,c thoả: a+b+c=3
CMR: \[\dfrac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2{a^2}}} \geqslant 1\]
Bài 3: Cho 3 số thưc dương a,b,c thoả: ab+bc+ca>0
CMR: \[\dfrac{{2{a^2} - bc}}{{{b^2} - bc + {c^2}}} + \dfrac{{2{b^2} - ac}}{{{a^2} - ac + {c^2}}} + \dfrac{{2{c^2} - ab}}{{{a^2} - ab + {b^2}}} \geqslant 3\]
Bài 4: cho a,b,c dương và \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\]
Tìm min P= \[\dfrac{a}{{{b^2} + {c^2}}} + \dfrac{b}{{{a^2} + {c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2} + {b^2}}}\]
Bài 5: Cho a,b,c là số thực dương thỏa: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant 1\]
CMR: \[({a^2} + {b^2} + abc)({b^2} + {c^2} + abc)({c^2} + {a^2} + abc) \geqslant 3abc{\left( {a + b + c} \right)^2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 28-12-2011 - 19:51


#2 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 27-12-2011 - 17:30

Bài 4 bạn tham khảo tại đây: http://diendantoanho...showtopic=66593



BĐT đã cho tương đương:

$\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{a(1-a^2)}+\dfrac{b^2}{b(1-b^2)}+\dfrac{c^2}{c(1-c^2)}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta sẽ chứng minh:
$\dfrac{a^2}{a(1-a^2)}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$$\Leftrightarrow a(1-a^2)\leq \dfrac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow a^2(1-a^2)^2\leq \dfrac{4}{27}$

Ta có:$a^2(1-a^2)^2=\dfrac{1}{2}(2a^2)(1-a^2)(1-a^2)\leq \dfrac{1}{2}.[\dfrac{2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)}{3}]^3=\dfrac{4}{27}$

Do đó:$\dfrac{a}{1-a^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Làm tương tự rồi cộng lại ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-12-2011 - 17:30

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#3 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 27-12-2011 - 18:45

Đề nghị Sơn gõ LaTex lên tiêu đề. Chỉ cần gõ câu 1 thôi cũng được!
@@alex_hoang:Mình nghĩ với một số lượng bài tập kha khá như thế này thì để tiêu đề như vậy có thể chấp nhận được Việt châm trước tí nha,lần sau mình sẽ nhắc nhở bạn ấy gõ từng bài ra từng chủ đề riêng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 28-12-2011 - 19:53

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#4 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-12-2011 - 22:49

Bài 2: Cho 3 số thưc dương a,b,c thoả: a+b+c=3
CMR: \[\dfrac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2{a^2}}} \geqslant 1\]


Áp dụng CS
\[\sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^4}}}{{{a^3} + 2{a^2}{b^2}}}} \ge \dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2}}}\]
Nên cần chứng minh

\[\begin{array}{l}
{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} \\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} \\
\end{array}\]
Cũng theo CS
\[\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)^3}\]
Và tiếp tục là CS
\[{3^2}\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3\]
Nên

\[\begin{array}{l}
\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)\left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right) \ge {\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)^2} \\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} \\
\end{array}\]
Bài toán được chứng minh.

#5 PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2011 - 21:09

1/Theo Cauchy-Schwarz , ta có :
$(c^2+2)(a^2+b^2+1) \geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow \dfrac{c^2+2}{(a+b+c)^2} \geq \dfrac{1}{a^2+b^2+1}$
Tương tự :
$\Rightarrow \dfrac{\sum a^2 +6}{(\sum a)^2} \geq \sum \dfrac{1}{a^2+b^2+1} \geq 1 $
$\Rightarrow \sum a^2+ 6 \geq (\sum a)^2$
$\Rightarrow \sum ab \leq 3 $
$Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 28-12-2011 - 21:12


#6 huynhtanduyan

huynhtanduyan

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên toán THPT Chuyên Trần Hưng Đạo
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 28-05-2016 - 23:19

ai có tài liệu về bdt am-gm vs c.s ko ạ cho e xin






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh