Chủ đề này có 2 trả lời

[zookiiiiaa]

CM quy nạp BĐT sau:

CMR với mọi số nguyên dương n thì ta luôn có BĐT

$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$

[Crystal]

CM quy nạp BĐT sau:

CMR với mọi số nguyên dương n thì ta luôn có BĐT

$1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}$

* Với $n=1$ thì $1 < 2$. Suy ra bất đẳng thức đúng với $n=1$

* Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k,k > 1,k \in \mathbb{N}$, tức là
$$1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt k }} < 2\sqrt k $$
* Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1,k \in \mathbb{N}$ hay
$$1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} $$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$$1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt k }} + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }}$$
$$ \Rightarrow 2\sqrt k + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} - 2\sqrt {k + 1} = \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} - 2\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} - \dfrac{2}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k }}$$
$$ = \dfrac{{\sqrt {k + 1} + \sqrt k - 2\sqrt {k + 1} }}{{\sqrt {k + 1} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k + 1} }}{{\sqrt {k + 1} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt {k + 1} {{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}^2}}} < 0$$
Suy ra: $$1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} - 2\sqrt {k + 1} < 0 \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} $$
Do đó bất đẳng thức đúng với $n = k + 1,k \in \mathbb{N}$

Theo nguyên lí quy nạp, ta có bất đẳng thức đã cho đúng với mọi số nguyên dương $n$. Ta có đpcm.

[hxthanh]

Mạnh hơn một chút ta sẽ chứng minh BĐT sau: (với $n>1$)
$$\boxed{1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+...+\dfrac{1}{\sqrt n}<2\sqrt n-1}$$
Bạn có biết tại sao người ta "ước lượng" được Vế phải của BĐT này không?
Hãy quan sát hình vẽ phía dưới nhé!


Từ hình vẽ ta thấy rằng
Tổng diện tích các hình chữ nhật (được tô màu) là:

$A=\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt n}$

Phần diện tích "hình thang cong" tạo bởi đồ thị $y=\dfrac{1}{\sqrt x}$ với trục hoành bởi các đường $x=1$ và $x=n$ là:

$B=\int\limits_1^n \dfrac{dx}{\sqrt x}=2\sqrt x\left|\begin{matrix}{}^n \\ {}_1\end{matrix}\right.=2\sqrt n-2$

Rõ ràng là $A<B$, từ đó ta có được BĐT cần chứng minh.
___________________________________________________________

P/s: Cũng dựa vào hình minh hoạ, bạn hãy chứng minh rằng:
$$\boxed{2\sqrt n+\dfrac{1}{2\sqrt n}-\dfrac{3}{2}}<\boxed{\dfrac{1}{\sqrt 1}+\dfrac{1}{\sqrt 2}+...+\dfrac{1}{\sqrt n}}<\boxed{2\sqrt n-1};\;\;\;\forall n\ge 2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-12-2011 - 00:22